Python怎么利用蒙特卡羅模擬期權(quán)定價

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期權(quán)是一種合約，它賦予買方在未來某個時間點以特定價格買賣資產(chǎn)的權(quán)利。 這些被稱為衍生品的合約的交易有多種原因，但一種常見的用法是來對沖當(dāng)資產(chǎn)價格以不利方式變動，所產(chǎn)生的風(fēng)險敞口。

期權(quán)，即買入或賣出的權(quán)利，也是有價格的。 Black Scholes 模型描述了一種確定期權(quán)公平價格的方法，但還有許多其他方法可以確定價格。

期權(quán)，及其價值

歐式期權(quán)只有在未來達到預(yù)定日期（稱為到期日）后才能使用（或行使），可以用字母 T 表示。

看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人以已知價格購買的權(quán)利。 如果資產(chǎn)的到期價格（用 ST 表示）高于執(zhí)行價格 K ，則看漲期權(quán)會賺錢，否則就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同樣，看跌期權(quán)是出售資產(chǎn)的權(quán)利。 當(dāng)資產(chǎn)在到期日價格ST低于執(zhí)行價格K時，看跌期權(quán)會賺錢，否則就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期時看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的收益圖。 我們的資產(chǎn)價格是 x 軸，收益是 y 軸。

風(fēng)險中性估值

為了使用蒙特卡羅模擬為期權(quán)定價，我們使用風(fēng)險中性估值，其中衍生品的公允價值是其未來收益的預(yù)期價值。

因此，在到期前的任何日期，用 t 表示，期權(quán)的價值是其到期收益預(yù)期的現(xiàn)值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在風(fēng)險中性估值下，我們假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將平均獲得無風(fēng)險利率。 因此，要計算任何時間 t 的期權(quán)收益，我們要按該利率對收益進行貼現(xiàn)。 現(xiàn)在我們有一種計算現(xiàn)值 PV 的方法。

上面的公式中，除了St ，所有這些變量都是已知的，因此St是我們的模擬將提供的。

為了給期權(quán)定價，我們將創(chuàng)建一個模擬，為資產(chǎn) St 最終價格提供許多觀察結(jié)果。 通過平均所有的回報，我們得到了對回報的期望值。

模擬資產(chǎn)價格

Black Scholes 模型中使用的股票價格行為模型假設(shè)我們有一個已知的波動性，我們有一個無風(fēng)險利率，并且資產(chǎn)的價格遵循幾何布朗運動。

幾何布朗運動是一個隨機過程，其中隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布。 這種類型的過程通過對數(shù)正態(tài)分布來分配價格。

所以現(xiàn)在我們有一個計算時間 T 時刻資產(chǎn)價格的方法：

為此，我們需要知道：

r 是我們要貼現(xiàn)的無風(fēng)險利率。 σ 是波動率，即股票回報的年化標(biāo)準(zhǔn)差。 (T-t) 給了我們年化的到期時間。 例如，對于 30 天選項，這將是 30/365=0.082... S 是在時間 t 標(biāo)的資產(chǎn)的價格。 ? 是我們的隨機值。 它的分布必須是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)（均值為 0.0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1.0）

期權(quán)定價

為了在模擬過程中為期權(quán)定價，我們生成資產(chǎn)可能在到期時的許多價格，計算每個生成價格的期權(quán)收益，將它們平均，然后對最終價值進行貼現(xiàn)。

在創(chuàng)建完整模擬之前，我們將通過一個包含10次運行的小示例。假設(shè)我們有一個具有以下價值的資產(chǎn)：S = 100.00 美元和 σ = 20%，我們想為半年到期的看漲期權(quán)定價，執(zhí)行價為 110.00 美元，我們的無風(fēng)險利率是 1%。

將折扣收益值平均，得出我們的看漲期權(quán)價格為 2.38 美元。 我們執(zhí)行的模擬越多，價格就越準(zhǔn)確。

現(xiàn)在我們可以看到模擬如何生成價格，讓我們構(gòu)建一個可以為期權(quán)定價的小型 Python 腳本，看看它是否與真實情況相符。 讓我們看一下實際的例子。

為真實期權(quán)定價

在下圖中，我們有一個谷歌看漲期權(quán)的報價，行使價為 860.00 美元，將于 2013 年 9 月 21 日到期。我們還可以看到它的最后交易價格是14.50 美元。這個例子給了我們嘗試定價時，期權(quán)的一個目標(biāo)價格。

此處未指定的是波動性、無風(fēng)險利率、當(dāng)前的股票價格。 波動率是一個相當(dāng)復(fù)雜的話題，因此就本文而言，我們將假設(shè)我們知道該特定期權(quán)的波動率為 20.76%。而股票當(dāng)前價格可以通過查看各種來源找到，為857.29 美元。

對于無風(fēng)險利率，我們可以使用與我們選擇的到期時間相同的美國 LIBOR 利率； 我們的期權(quán)在大約三周后到期，由于沒有三周利率，我們將使用兩周利率來近似，即 0.14%。

接下來是Python代碼的實現(xiàn)，首先我們將寫下我們將如何生成資產(chǎn)價格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我們知道所有的輸入值，所以我們可以像這樣設(shè)定它們：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0

print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

現(xiàn)在我們需要能夠計算這個生成價格的回報。 回想一下之前我們說過看漲期權(quán)在到期時價值是 ST-K 或 0，我們將其表示為一個函數(shù)，并應(yīng)用于我們生成的資產(chǎn)價格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)

print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模擬

現(xiàn)在讓我們將各模塊代組合，并為 Google 期權(quán)定價。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)

for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )

price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

程序運行結(jié)果如下，這與我們在市場上觀察到的此 Google 期權(quán)的價格相匹配。

Price: 14.5069

需要注意的是，我們剛剛計算的谷歌期權(quán)實際上是一個美式期權(quán)，我們只是把它定價成歐式期權(quán)，沒有考慮期權(quán)可以提前行權(quán)的可能性，盡管如此，我們?nèi)匀坏贸隽苏_的價格。

這是因為，非派息股票（例如文中舉例的 Google）的美式看漲期權(quán)的價格與歐式看漲期權(quán)的價格相同。理論上，當(dāng)股票不支付股息時，提前行權(quán)并不是最佳選擇。 如果期權(quán)永遠不會提前行權(quán)，那么美式期權(quán)的價格可以像歐式期權(quán)一樣進行計算。

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