Python怎么實(shí)現(xiàn)PCA降維算法

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一、算法概述

• 主成分分析 （Principal ComponentAnalysis，PCA）是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計(jì)分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡(jiǎn)化復(fù)雜的問題。

• PCA 是最常用的一種降維方法，它的目標(biāo)是通過某種線性投影，將高維的數(shù)據(jù)映射到低維的空間中，并期望在所投影的維度上數(shù)據(jù)的方差最大，以此使用較少的維度，同時(shí)保留較多原數(shù)據(jù)的維度。

• PCA 算法目標(biāo)是求出樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，而協(xié)方差矩陣的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。使樣本數(shù)據(jù)向低維投影后，能盡可能表征原始的數(shù)據(jù)。

• PCA 可以把具有相關(guān)性的高維變量合成為線性無關(guān)的低維變量，稱為主成分。主成分能夠盡可能的保留原始數(shù)據(jù)的信息。

• PCA 通常用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化，還可以用作數(shù)據(jù)壓縮和預(yù)處理等。

二、算法步驟

1.將原始數(shù)據(jù)按行組成m行n列的矩陣X

2.將X的每一列（代表一個(gè)屬性字段）進(jìn)行零均值化，即減去這一列的均值

3.求出協(xié)方差矩陣

4.求出協(xié)方差矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量r

5.將特征向量按對(duì)應(yīng)特征值大小從左到右按列排列成矩陣，取前k列組成矩陣P

6.計(jì)算降維到k維的數(shù)據(jù)

三、相關(guān)概念

• 方差：描述一個(gè)數(shù)據(jù)的離散程度

• 協(xié)方差：描述兩個(gè)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，接近1就是正相關(guān)，接近-1就是負(fù)相關(guān)，接近0就是不相關(guān)

• 協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱的矩陣，而且對(duì)角線是各個(gè)維度的方差

• 特征值：用于選取降維的K個(gè)特征值

• 特征向量：用于選取降維的K個(gè)特征向量

四、算法優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)

• 僅僅需要以方差衡量信息量，不受數(shù)據(jù)集以外的因素影響。

• 各主成分之間正交，可消除原始數(shù)據(jù)成分間的相互影響的因素。

• 計(jì)算方法簡(jiǎn)單，主要運(yùn)算是特征值分解，易于實(shí)現(xiàn)。

缺點(diǎn)

• 主成分各個(gè)特征維度的含義具有一定的模糊性，不如原始樣本特征的解釋性強(qiáng)。

• 方差小的非主成分也可能含有對(duì)樣本差異的重要信息，降維丟棄的數(shù)據(jù)可能對(duì)后續(xù)數(shù)據(jù)處理有影響。

五、算法實(shí)現(xiàn)

自定義實(shí)現(xiàn)

import numpy as np


# 對(duì)初始數(shù)據(jù)進(jìn)行零均值化處理
def zeroMean(dataMat):
    # 求列均值
    meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
    # 求列差值
    newData = dataMat - meanVal
    return newData, meanVal


# 對(duì)初始數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理
def pca(dataMat, percent=0.19):
    newData, meanVal = zeroMean(dataMat)

    # 求協(xié)方差矩陣
    covMat = np.cov(newData, rowvar=0)

    # 求特征值和特征向量
    eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))

    # 抽取前n個(gè)特征向量
    n = percentage2n(eigVals, percent)
    print("數(shù)據(jù)降低到：" + str(n) + '維')

    # 將特征值按從小到大排序
    eigValIndice = np.argsort(eigVals)
    # 取最大的n個(gè)特征值的下標(biāo)
    n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(n + 1):-1]
    # 取最大的n個(gè)特征值的特征向量
    n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice]

    # 取得降低到n維的數(shù)據(jù)
    lowDataMat = newData * n_eigVect
    reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal

    return reconMat, lowDataMat, n


# 通過方差百分比確定抽取的特征向量的個(gè)數(shù)
def percentage2n(eigVals, percentage):
    # 按降序排序
    sortArray = np.sort(eigVals)[-1::-1]
    # 求和
    arraySum = sum(sortArray)

    tempSum = 0
    num = 0
    for i in sortArray:
        tempSum += i
        num += 1
        if tempSum >= arraySum * percentage:
            return num


if __name__ == '__main__':
    # 初始化原始數(shù)據(jù)(行代表樣本,列代表維度)
    data = np.random.randint(1, 20, size=(6, 8))
    print(data)

    # 對(duì)數(shù)據(jù)降維處理
    fin = pca(data, 0.9)
    mat = fin[1]
    print(mat)

利用Sklearn庫實(shí)現(xiàn)

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris

# 加載數(shù)據(jù)
data = load_iris()
x = data.data
y = data.target

# 設(shè)置數(shù)據(jù)集要降低的維度
pca = PCA(n_components=2)
# 進(jìn)行數(shù)據(jù)降維
reduced_x = pca.fit_transform(x)

red_x, red_y = [], []
green_x, green_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []

# 對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類
for i in range(len(reduced_x)):
    if y[i] == 0:
        red_x.append(reduced_x[i][0])
        red_y.append(reduced_x[i][1])
    elif y[i] == 1:
        green_x.append(reduced_x[i][0])
        green_y.append(reduced_x[i][1])
    else:
        blue_x.append(reduced_x[i][0])
        blue_y.append(reduced_x[i][1])

plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='D')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='.')
plt.show()

六、算法優(yōu)化

PCA是一種線性特征提取算法，通過計(jì)算將一組特征按重要性從小到大重新排列得到一組互不相關(guān)的新特征，但該算法在構(gòu)造子集的過程中采用等權(quán)重的方式，忽略了不同屬性對(duì)分類的貢獻(xiàn)是不同的。

• KPCA算法

KPCA是一種改進(jìn)的PCA非線性降維算法，它利用核函數(shù)的思想，把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性變換，然后在變換空間進(jìn)行PCA，這樣就實(shí)現(xiàn)了非線性PCA。

• 局部PCA算法

局部PCA是一種改進(jìn)的PCA局部降維算法，它在尋找主成分時(shí)加入一項(xiàng)具有局部光滑性的正則項(xiàng)，從而使主成分保留更多的局部性信息。

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