Python怎么實(shí)現(xiàn)粒子群算法

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目錄

• 1.引言

• 2.算法的具體描述：

• 2.1原理

• 2.2標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法流程

• 3.代碼案例

• 3.1問題

• 3.2繪圖

•  3.3計(jì)算適應(yīng)度

• 3.4更新速度

• 3.5更新粒子位置

• 3.6主要算法過程

• 結(jié)果

• 總結(jié)

1.引言

粒子群優(yōu)化算法起源于對鳥群覓食活動(dòng)的分析。鳥群在覓食的時(shí)候通常會(huì)毫無征兆的聚攏，分散，以及改變飛行的軌跡，但是在不同個(gè)體之間會(huì)十分默契的保持距離。所以粒子群優(yōu)化算法模擬鳥類覓食的過程，將待求解問題的搜索空間看作是鳥類飛行的空間，將每只鳥抽象成一個(gè)沒有質(zhì)量和大小的粒子，用這個(gè)粒子來表示待求解問題的一個(gè)可行解。所以，尋找最優(yōu)解的過程就相當(dāng)于鳥類覓食的過程。

粒子群算法也是基于種群以及進(jìn)化的概念，通過個(gè)體間的競爭與協(xié)作，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間最優(yōu)解的求解。但是與遺傳算法不同的是，他不會(huì)對每個(gè)個(gè)體進(jìn)行“交叉”，“變異”等操作，而實(shí)以一定的規(guī)則，更新每個(gè)粒子的速度以及位置，使得每一個(gè)粒子向自身歷史最佳位置以及全局歷史最佳位置進(jìn)行移動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)種群向著最優(yōu)的方向進(jìn)化。

2.算法的具體描述：

2.1原理

在粒子群優(yōu)化算法中，粒子之間通過信息共享機(jī)制，獲得其它粒子的發(fā)現(xiàn)與飛行經(jīng)歷。粒子群算法中的信息共享機(jī)制實(shí)際上是一種合作共生的行為，在搜索最優(yōu)解的過程中，每個(gè)粒子能夠?qū)ψ约航?jīng)過的最佳的歷史位置進(jìn)行記憶，同時(shí)，每個(gè)粒子的行為有會(huì)受到群體中其他例子的影響，所以在搜索最優(yōu)解的過程中，粒子的行為既受其他粒子的影響，有受到自身經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)。

粒子群優(yōu)化算法對于鳥群的模擬是按照如下的模式進(jìn)行的：假設(shè)一群鳥在空中搜索食物，所有鳥知道自己當(dāng)前距離食物有多遠(yuǎn)（這里的遠(yuǎn)近會(huì)用一個(gè)值來衡量，適應(yīng)度值），那么每只鳥最簡單的搜索策略就是尋找距離目前距離食物最近的鳥的周圍空間。因此，在粒子群算法中，每個(gè)粒子都相當(dāng)于一只鳥，每個(gè)粒子有一個(gè)適應(yīng)度值，還有一個(gè)速度決定他們的飛行的距離與方向。所有的粒子追隨當(dāng)前最優(yōu)的粒子在解空間中搜索。每搜索一次，最優(yōu)的粒子會(huì)發(fā)生變化，其他的粒子又會(huì)追隨新的最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索，如此反復(fù)迭代。

在迭代開始的時(shí)候，每個(gè)粒子通過隨機(jī)的方式初始化在空間中的速度和位置，然后在迭代過程中，粒子通過跟蹤兩個(gè)極值來自己在解空間中的位置和速度，一個(gè)極值是單個(gè)粒子自身在迭代的過程中的最優(yōu)位置（就是最優(yōu)適應(yīng)度值所對應(yīng)的空間解），這個(gè)稱之為粒子的個(gè)體極值。另一個(gè)極值是種群中所有的粒子在迭代過程中所找到的最優(yōu)位置，這個(gè)成為全局極值。如果粒子只是跟蹤一個(gè)極值的話，則算法稱為局部粒子群算法或者全局粒子群算法。

PSO從這種模型中得到啟示并用于解決優(yōu)化問題。PSO 中，每個(gè)優(yōu)化問題的潛在解都是搜索空間中的一只鳥，稱之為粒子。所有的粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適值( fitness value) ，每個(gè)粒子還有一個(gè)速度決定它們飛翔的方向和距離。然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。

PSO初始化為一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解)，然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個(gè)極值來更新自己；第一個(gè)就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個(gè)解稱為個(gè)體極值；另一個(gè)極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，這個(gè)極值是全局極值。另外也可以不用整個(gè)種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。

圖解：

2.2標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法流程

算法的流程如下：

Step1:種群初始化:可以進(jìn)行隨機(jī)初始化或根據(jù)被優(yōu)化的問題設(shè)計(jì)特定的初始化方法,包括群體規(guī)模，每個(gè)粒子的位置 X i X_{i} Xi 和速度 V i V_i Vi ，然后計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，從而選擇出個(gè)體的局部最優(yōu)位置向量和種群的全局最優(yōu)位置向量。

Step2:迭代設(shè)置:設(shè)置迭代次數(shù) g m a x g_{max} gmax ，令當(dāng)前迭代次數(shù)g=1。

Step3:根據(jù)公式更新每個(gè)粒子的速度向量V。

Step4:根據(jù)公式更新每個(gè)粒子的位置向量X。

Step5:局部位置向量和全局位置向量更新:更新每個(gè)粒子的Pbest,和種群的Gbest。

Step6:終止條件判斷:判斷迭代次數(shù)時(shí)都達(dá)到 g m a x g_{max} gmax 或誤差是否足夠小，如果滿足則輸出Gbest.否則繼續(xù)進(jìn)行迭代，跳轉(zhuǎn)至步驟(3)。

對于粒子群優(yōu)化算法的實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)橹饕菍λ俣群臀恢孟蛄康阕拥脑O(shè)計(jì)計(jì),選代算子是否合理將決定整個(gè)PSO算法性能的優(yōu)劣.，所以如何設(shè)計(jì) t pso的迭代算子是算法應(yīng)用的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)。

3.代碼案例

3.1問題

求解f(x,y)的最小值點(diǎn)

3.2繪圖

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 生成X和Y的數(shù)據(jù)
X=np.arange(-5,5,0.1)
Y=np.arange(-5,5,0.1)
X,Y=np.meshgrid(X,Y)

# 目標(biāo)函數(shù)
Z=X**2+Y**2+X

# 繪圖
fig=plt.figure()
ax=Axes3D(fig)
surf=ax.plot_surface(X,Y,Z,cmap=cm.coolwarm)
plt.show()

 3.3計(jì)算適應(yīng)度

# 速度
# Vi+1 = w*Vi + c1 * r1 * (pbest_i - Xi) + c2 * r2 * (gbest_i - Xi)
# 位置
# Xi+1 = Xi + Vi+1
# vi, xi 分別表示粒子第i維的速度和位置
# pbest_i, gbest_i 分別表示某個(gè)粒子最好位置第i維的值、整個(gè)種群最好位置第i維的值

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默認(rèn)字體
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解決保存圖像是負(fù)號(hào)'-'顯示為方塊的問題

def fitness_func(X):
    """計(jì)算粒子的的適應(yīng)度值，也就是目標(biāo)函數(shù)值，X 的維度是 size * 2 """
    A = 10
    pi = np.pi
    x = X[:, 0]
    y = X[:, 1]
    return x**2+y**2+x

3.4更新速度

def velocity_update(V, X, pbest, gbest, c1, c2, w, max_val):
    """
    根據(jù)速度更新公式更新每個(gè)粒子的速度
    :param V: 粒子當(dāng)前的速度矩陣，20*2 的矩陣
    :param X: 粒子當(dāng)前的位置矩陣，20*2 的矩陣
    :param pbest: 每個(gè)粒子歷史最優(yōu)位置，20*2 的矩陣
    :param gbest: 種群歷史最優(yōu)位置，1*2 的矩陣
    """
    size = X.shape[0]
    r1 = np.random.random((size, 1))
    r2 = np.random.random((size, 1))
    V = w*V+c1*r1*(pbest-X)+c2*r2*(gbest-X)
    # 防止越界處理
    V[V < -max_val] = -max_val
    V[V > -max_val] = max_val
    return V

3.5更新粒子位置

def position_update(X, V):
    """
    根據(jù)公式更新粒子的位置
    :param X: 粒子當(dāng)前的位置矩陣，維度是 20*2
    :param V: 粒子當(dāng)前的速度舉著，維度是 20*2
    """
    return X+V

3.6主要算法過程

def pos():
    w = 1
    c1 = 2
    c2 = 2
    r1 = None
    r2 = None
    dim = 2
    size = 20
    iter_num = 1000
    max_val = 0.5
    best_fitness = float(9e10)
    fitness_val_list = []
    # 初始化種群各個(gè)粒子的位置
    X = np.random.uniform(-5, 5, size=(size, dim))
    # 初始化各個(gè)粒子的速度
    V = np.random.uniform(-0.5, 0.5, size=(size, dim))
    # print(X)
    p_fitness = fitness_func(X)
    g_fitness = p_fitness.min()
    fitness_val_list.append(g_fitness)

    # 初始化的個(gè)體最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置
    pbest = X
    gbest = X[p_fitness.argmin()]
    # 迭代計(jì)算
    for i in range(1, iter_num):
        V = velocity_update(V, X, pbest, gbest, c1, c2, w, max_val)
        X = position_update(X, V)
        p_fitness2 = fitness_func(X)
        g_fitness2 = p_fitness2.min()

        # 更新每個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置
        for j in range(size):
            if p_fitness[j] > p_fitness2[j]:
                pbest[j] = X[j]
                p_fitness[j] = p_fitness2[j]
            # 更新群體的最優(yōu)位置
            if g_fitness > g_fitness2:
                gbest = X[p_fitness2.argmin()]
                g_fitness = g_fitness2
            # 記錄最優(yōu)迭代記錄
            fitness_val_list.append(g_fitness)
            i += 1

    # 輸出迭代結(jié)果
    print("最優(yōu)值是：%.5f" % fitness_val_list[-1])
    print("最優(yōu)解是：x=%.5f,y=%.5f" % (gbest[0], gbest[1]))

    # 繪圖
    plt.plot(fitness_val_list, color='r')
    plt.title('迭代過程')
    plt.show()

pos()

結(jié)果

最優(yōu)值是：-0.23696
最優(yōu)解是：x=-0.54359,y=-0.10555

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