如何用TensorFlow生成令人驚艷的分形圖案

這篇文章給大家介紹如何用TensorFlow生成令人驚艷的分形圖案，內(nèi)容非常詳細(xì)，感興趣的小伙伴們可以參考借鑒，希望對大家能有所幫助。

今天來介紹一個小項目：在TensorFlow中生成分形圖案。分形本身只是一個數(shù)學(xué)概念，與機(jī)器學(xué)習(xí)并無太大關(guān)系，但是通過分形的生成，我們可以了解怎么在TensorFlow中進(jìn)行數(shù)學(xué)計算，以及如何進(jìn)行基本的流程控制，是學(xué)習(xí)TensorFlow的一個非常好的練手項目。

在開始之前，需要說明的是，TensorFlow官方也提供了一個生成分形圖案的教程(地址：  www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實在是太丑了，而且只能生成一種圖案，我對官方的代碼做了一些改進(jìn)，并且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以制作gif動畫。

Mandelbrot集合

Mandelbrot集合是分形中最經(jīng)典的一個例子?？紤]迭代公式z_{n+1}=z_{n}^2 +  c(z和c都是復(fù)數(shù))。當(dāng)z_0為0時，得到的值可以組成一個數(shù)列，依次為c,  c^2+c,(c^2+c)^2+c……。當(dāng)該數(shù)列發(fā)散到無窮時，對應(yīng)的點(diǎn)就屬于Mandelbrot集合。

如c=0 時，顯然數(shù)列永遠(yuǎn)是0，并不發(fā)散，因此0不屬于Mandelbrot集合。

又如c=3i 時，對應(yīng)的數(shù)列為3i, -9+3i, 63-51i, 1431-6477j….  ，數(shù)字越來越龐大，因此3i就屬于Mandelbrot集合。

在二維平面上，將所有不屬于Mandelbrot集合的點(diǎn)標(biāo)記為黑色，將所有屬于Mandelbrot集合的點(diǎn)按照其發(fā)散速度賦予不同的顏色，就可以得到Mandelbrot的經(jīng)典圖像：

上面這張圖完全是使用TensorFlow進(jìn)行計算的，類似的圖大家應(yīng)該在網(wǎng)上也見過好多了，在TensorFlow中，我們定義下面的計算步驟：

xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64)) zs = tf.Variable(xs) ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():     tf.global_variables_initializer().run()     zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)     not_diverged = tf.abs(zs_) < R     step = tf.group(         zs.assign(zs_),         ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))      for i in range(ITER_NUM): step.run()     final_step = ns.eval()     final_z = zs_.eval()

zs就對應(yīng)我們之前迭代公式的z，而xs就對應(yīng)迭代公式中的c。為了方便起見，只要計算時數(shù)值的絕對值大于一個事先指定的值R，就認(rèn)為其發(fā)散。每次計算使用tf.where只對還未發(fā)散的值進(jìn)行計算。結(jié)合ns和zs_就可以計算顏色，得到經(jīng)典的Mandelbrot圖像。

Julia集合

Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉(zhuǎn)而計算發(fā)散的z的值。即c是固定的常數(shù)(可以任取)，數(shù)列變成z,z^2+c,(z^2+c)^2  +c,…..。如果該數(shù)列發(fā)散，對應(yīng)的z就屬于Julia集合。對此，我們只要在原來的程序中修改兩行內(nèi)容，就可以生成Julia集合：

xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype)) zs = tf.Variable(Z)

我們在fill_value=c處指定了Julia集合中的c值，只要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合!

默認(rèn)：c = -0.835 – 0.2321i ：

將c值變?yōu)閏 = -0.8 * 1j ，并調(diào)整顏色(調(diào)整方法參考Github頁面的說明)：

選用c=0.285 + 0.01i ，圖案又變得完全不同：

生成Julia集合的動畫

在Julia集合中，每次都對c的值進(jìn)行微小的改變，并將依次生成圖片制作為gif，就可以生成如下所示的動畫，對應(yīng)的代碼為julia_gif.py：

這里由于上傳gif有大小限制的關(guān)系，只展示了一個小尺寸的動畫圖像。程序中提供了一個width參數(shù)，可以修改它以生成更大尺寸，質(zhì)量更高的動畫圖像。

探索Mandelbrot集合

(注意：下面的圖片可能對密集恐懼癥患者不太友好。。。因此慎重翻頁。。)

在前面生成的Mandelbrot集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區(qū)域進(jìn)行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對應(yīng)的程序為mandelbrot_area.py。

在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的9個位置。

其中編號為2的地方被稱為“Elephant  Valley”，因為此處的圖案與大象很像，直接運(yùn)行mandelbrot_area.py就可以得到該區(qū)域的圖像：

編號為3的地方被稱為“Triple Spiral  Valley”(三重螺旋)，在mandelbrot_area.py修改一下坐標(biāo)位置為(ratio調(diào)整的是顏色)：

start_x = -0.090  # x range end_x = -0.086 start_y = 0.654  # y range end_y = 0.657 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6

就可以得到該處的圖案：

***編號為1的地方被稱為“Seahorse Valley”(海馬山谷)，對應(yīng)的坐標(biāo)為：

start_x = -0.750  # x range end_x = -0.747 start_y = 0.099  # y range end_y = 0.102 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3

圖像如下，確實和海馬有一點(diǎn)神似：

生成更多的圖案

項目提供了兩個jupyter  notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以對Mandelbrot集合、Julia集合做更方便的探索。

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