python中怎么推導(dǎo)線性回歸模型

這篇文章給大家介紹python中怎么推導(dǎo)線性回歸模型，內(nèi)容非常詳細(xì)，感興趣的小伙伴們可以參考借鑒，希望對大家能有所幫助。

首先，先看一張圖：

圖是我們在初中學(xué)習(xí)過的直角坐標(biāo)系二維平面，上面遍布著一些點(diǎn)。從整體趨勢看，y隨x的增大而增大。如果曾經(jīng)你和我一樣，數(shù)學(xué)每次考試都是90的話，那么接下來，我相信你會情不自禁地做一件事：

沒錯(cuò)，我們會以（0,0）和（10,10）為兩點(diǎn)，畫出一條貫穿其中的線，從視覺上，這條紅線正好把所有點(diǎn)一分為二，其對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

y=x

 而這就是我們線性回歸所要做的事：找到一組數(shù)學(xué)表達(dá)式（圖中的紅線），用來反映數(shù)據(jù)（圖中的點(diǎn)）的變化規(guī)律。

目標(biāo)有了，問題也來了：

貫穿圖中密密麻麻點(diǎn)的線有無數(shù)條，為什么不是y=2x，y=x+1，偏偏是y=x呢？

我們又是通過何種方法去找到這條線呢？

先解決第一個(gè)問題，上天書：

這個(gè)式子就是第一個(gè)問題的解，沒見過的符號太多，看不懂是吧？那么我來翻譯一下：

1. 先求出（每個(gè)點(diǎn)的Y值-以每個(gè)點(diǎn)的X值通過函數(shù)求出的Y值）的平方

2. 求和；

3. 乘以1/2

再通俗點(diǎn)：

把每個(gè)點(diǎn)的實(shí)際y值與它通過某個(gè)函數(shù)求出的y值的差的平方加起來，再乘以1/2。

而文章開篇中的均方差損失，MSE，平方損失函數(shù)，二次代價(jià)函數(shù)其實(shí)都指的是它。這個(gè)式子其實(shí)計(jì)算的是真實(shí)值和用函數(shù)預(yù)測的值之間的誤差之和。那么第一個(gè)問題就迎刃而解了：哪一個(gè)表達(dá)式所求出的誤差和最小，就是我們要找的那條“紅線”。

我們繼續(xù)解決第二個(gè)問題，先上圖：

這個(gè)問題還要簡單，我們只要從斜率為0的那條“紅線”（y=0*X）開始畫線，然后一點(diǎn)點(diǎn)增大斜率，每條線求一個(gè)誤差值，找出其中誤差值最小的那條線，就大功告成了。而中間有著巨大計(jì)算量的遍歷過程，我們可以通過python，瞬間完成。

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線性回歸的Python實(shí)現(xiàn)

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重點(diǎn)：梯度下降法！

導(dǎo)入一些包，待用：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns
sns.set_context('notebook')
sns.set_style('white')

導(dǎo)入案例數(shù)據(jù)：

model_data = pd.read_csv('model_data.csv',engine='python')
model_data.head()

數(shù)據(jù)是一份上海的房價(jià)數(shù)據(jù)，我們要把房屋價(jià)格作為因變量y,房屋面積，房間數(shù)附近餐飲POI數(shù)量，評論，距離市中心距離等作為自變量，擬合一個(gè)線性回歸模型，用于預(yù)測房價(jià)。

根據(jù)要求提取自變量和因變量：

feat_cols = model_data.columns.tolist()[1:]
print(feat_cols)

X =  model_data[feat_cols].values
y = model_data['價(jià)格'].values

構(gòu)建損失函數(shù)：

def Cost_Function(X,y,theta):
    '''
    需要傳入的參數(shù)為
    X：自變量
    y:應(yīng)變量
    theta:權(quán)重
    使用均方誤差（MSE），作為損失函數(shù)
    '''
    m = y.size  #求出y的個(gè)數(shù)（一共多少條數(shù)據(jù)）
    t = X.dot(theta) #權(quán)重和變量點(diǎn)乘，計(jì)算出使用當(dāng)前權(quán)重時(shí)的預(yù)測值
    c = 0 #定義損失值
    c = 1/(2*m) * (np.sum(np.square(t-y))) 
    #預(yù)測值與實(shí)際值的差值，平方后除以數(shù)據(jù)的條數(shù)，計(jì)算出均方誤差。最后乘以1/2（無實(shí)際意義，方便以后計(jì)算）
    return c #返回?fù)p失值

*θ為每個(gè)變量前的權(quán)重，什么是權(quán)重？比如y=2x,2就是自變量x的權(quán)重

求損失值我們就用先前說到的損失函數(shù)。如果你夠仔細(xì)，可能會有一個(gè)問題，我們的損失函數(shù)前需要乘以一個(gè)1/2，似乎沒有特別的意義。恭喜你很機(jī)智，1/2的確沒有任何意義，只是為了接下來方便求導(dǎo)。

構(gòu)建梯度下降法：

def GradientDescent(X, y, feat_cols, alpha=0.3, num_iters=10000):
    '''
    需傳入?yún)?shù)為
    X：自變量
    y:應(yīng)變量
    feat_cols：變量列表
    alpha：學(xué)習(xí)率，默認(rèn)0.3
    num_iters：迭代次數(shù)，默認(rèn)10000次
    使用梯度下降法迭代權(quán)重
    '''
    scaler = MinMaxScaler() #最大最小值歸一化自變量
    X = scaler.fit_transform(X) #歸一化
    m = y.size #求出y的個(gè)數(shù)（一共多少條數(shù)據(jù)）
    J_history = np.zeros(num_iters) #創(chuàng)建容納每次迭代后損失值得矩陣，初始值為0
    theta = np.zeros(len(feat_cols)+1) #設(shè)置默認(rèn)權(quán)重，0
    for iter in np.arange(num_iters): #根據(jù)迭代次數(shù)，開始迭代
        t = X.dot(theta) #權(quán)重和變量點(diǎn)乘，計(jì)算出使用當(dāng)前權(quán)重時(shí)的預(yù)測值
        theta = theta - alpha*(1/m)*(X.T.dot(t-y))
        #對代價(jià)函數(shù)求導(dǎo)，算出下降最快的方向，乘以學(xué)習(xí)率（下降的速度），再用原來的權(quán)重相減，得到新的權(quán)重
        J_history[iter] = Cost_Function(X, y, theta) #求出新的權(quán)重時(shí)的損失值，存入矩陣
    return(theta, J_history) #返回最終的權(quán)重和歷次迭代的損失值

這是構(gòu)造模型最為核心的部分。我們不斷迭代，尋找最優(yōu)的那條“紅線”的過程，其實(shí)是在不斷調(diào)整每個(gè)自變量的權(quán)重。而每個(gè)權(quán)重每次到底怎么調(diào)整，增大還是減?。ǚ较颍?，這就需要我們對損失函數(shù)求導(dǎo)。

如果數(shù)學(xué)不好，不理解，我們用圖來說明一下：

好比，我們站在懸崖頂端，要找到最快能達(dá)到懸崖底部的方向，那么顯而易見，你所在位置最陡峭的方向，就是正確的方向，而求導(dǎo)就是找到最陡峭的方向（切線斜率絕對值最大的點(diǎn)）。

山坡是凹凸不平的，所以我們每走一步都需要重新尋找方向，這就是迭代的過程；其次，每次的步子也不能跨太大，萬一跨錯(cuò)地方了，不好糾正，所以我們又需要設(shè)置一個(gè)步子的大小——學(xué)習(xí)率。

所以梯度下降法的公式就是：

每一次更新的權(quán)重= 前一次的權(quán)重-學(xué)習(xí)率*損失函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

在理解了下山這個(gè)場景以后，我們就能順利的完成梯度下降法的構(gòu)建，并且通過python函數(shù)求出最后每個(gè)變量的權(quán)重和每次迭代過后的損失值。

構(gòu)建繪制損失值變化圖的函數(shù)：

def plot_Cost(GD_result):
    '''
    繪制權(quán)重變化情況
    需傳入?yún)?shù)為
    GD_result：梯度下降法結(jié)果
    '''
    theta , Cost = GD_result #得到權(quán)重和損失值
    print('theta: ',theta.ravel()) #打印權(quán)重

    plt.plot(Cost) #繪制損失值變化情況
    plt.title('COST change')
    plt.ylabel('Cost')
    plt.xlabel('Iterations')
    plt.grid()
    plt.show()

這個(gè)很簡單，就是通過前面梯度下降法求得的歷次迭代后的損失值，畫出變化曲線。

最后把所有函數(shù)匯總，就是我們的線性回歸模型了：

def lr_function(X,y,feat_cols):
    '''
    需要輸入的變量為
    X：自變量
    y:應(yīng)變量
    feat_cols：變量列表
    '''
    def score(y_p,y):
        '''
        y_p:預(yù)測值
        y:真實(shí)值
        dimension：樣本數(shù)量
        計(jì)算R^和調(diào)整R^    
        '''
        aa=y_p.copy(); bb=y.copy()
        if len(aa)!=len(bb):
            print('not same length')
            return np.nan

        cc=aa-bb
        wcpfh=sum(cc**2) #誤差平方和

        # RR means R_Square
        RR=1-sum((bb-aa)**2)/sum((bb-np.mean(bb))**2)
        return RR#返回R^
    X = np.c_[np.ones(X.shape[0]),X]
    GD_result = GradientDescent(X, y, feat_cols)
    plot_Cost(GD_result)
    y_p = np.dot(X,GD_result[0])
    RR = score(y_p,y)
    return RR,y_p,GD_result[0]  #返回R^,預(yù)測值

一般對于每個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)模型，都需要有一個(gè)指標(biāo)衡量其擬合程度，而線性模型我們使用的是我們所熟知的可決系數(shù)R^2。為了求出R^2，我在函數(shù)中又套用了一個(gè)簡單的求解函數(shù)，具體過程不贅述了，通讀代碼就能明白。通常R^2越接近1，表示模型擬合程度越好。

模型封裝完畢，下面是見證奇跡的時(shí)刻！

model_result = lr_function(X,y,feat_cols)
print('R^2為:{}'.format(round(model_result[0],4)))

通過模型，我們求出了每個(gè)自變量的權(quán)重，圖表反應(yīng)了損失值由大變小的過程，在10000次迭代的過程中，一開始速度很快，越到后面越趨于平緩。

最后是R^2為0.70，有70%的擬合度，尚可。

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線性回歸模型的驗(yàn)證

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為了驗(yàn)證我們自己編寫的模型是否準(zhǔn)確，我們也可以使用python機(jī)器學(xué)習(xí)工具包sklearn，對同樣的數(shù)據(jù)，用線性回歸模型擬合，查看最后的R^2是否一致。

先對變量標(biāo)準(zhǔn)化：

scaler = MinMaxScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

 使用LinearRegression()進(jìn)行擬合，并求出R^2：

lr = LinearRegression()
lr.fit(X,y)
R2 = lr.score(X,y)
print('R^2為:{}'.format(round(R2,4)))

R^2同樣為0.7，代表我們自己編寫的模型沒有問題。

最后，我們繪制一張真實(shí)值與預(yù)測值對比圖，可視化模型結(jié)果：

關(guān)于python中怎么推導(dǎo)線性回歸模型就分享到這里了，希望以上內(nèi)容可以對大家有一定的幫助，可以學(xué)到更多知識。如果覺得文章不錯(cuò)，可以把它分享出去讓更多的人看到。