Python實戰(zhàn)教程：拒絕調包，如何用python推導線性回歸模型

最近有人問我一個問題，我數(shù)學不好，代碼基礎薄弱，英語一般般，如何入門當今最為前沿的機器學習領域？均方差損失，MSE，平方損失函數(shù)，二次代價函數(shù)都是什么意思？

這個問題問得好，諸如學好數(shù)學，多敲代碼，攻克專八這類標準回答我就不多說了。我們這回用 Python實戰(zhàn)教程案例，分分鐘帶你入門。

下面我們通過機器學習的入門模型——線性回歸，從數(shù)學說起，以代碼著手，一步步推導出可以應用于實踐的模型。

線性回歸的數(shù)學原理

首先，先看一張圖：

圖是我們在初中學習過的直角坐標系二維平面，上面遍布著一些點。從整體趨勢看，y隨x的增大而增大。如果曾經(jīng)你和我一樣，數(shù)學每次考試都是90的話，那么接下來，我相信你會情不自禁地做一件事：

沒錯，我們會以（0,0）和（10,10）為兩點，畫出一條貫穿其中的線，從視覺上，這條紅線正好把所有點一分為二，其對應的數(shù)學表達式為：

y=x

而這就是我們線性回歸所要做的事：找到一組數(shù)學表達式（圖中的紅線），用來反映數(shù)據(jù)（圖中的點）的變化規(guī)律。

目標有了，問題也來了：

貫穿圖中密密麻麻點的線有無數(shù)條，為什么不是y=2x，y=x+1，偏偏是y=x呢？

我們又是通過何種方法去找到這條線呢？

先解決第一個問題，上天書：

這個式子就是第一個問題的解，沒見過的符號太多，看不懂是吧？那么我來翻譯一下：

1. 先求出（每個點的Y值-以每個點的X值通過函數(shù)求出的Y值）的平方
2. 求和；
3. 乘以1/2

再通俗點：

把每個點的實際y值與它通過某個函數(shù)求出的y值的差的平方加起來，再乘以1/2。

而文章開篇中的均方差損失，MSE，平方損失函數(shù)，二次代價函數(shù)其實都指的是它。這個式子其實計算的是真實值和用函數(shù)預測的值之間的誤差之和。那么第一個問題就迎刃而解了：哪一個表達式所求出的誤差和最小，就是我們要找的那條“紅線”。

我們繼續(xù)解決第二個問題，先上圖：

這個問題還要簡單，我們只要從斜率為0的那條“紅線”（y=0*X）開始畫線，然后一點點增大斜率，每條線求一個誤差值，找出其中誤差值最小的那條線，就大功告成了。而中間有著巨大計算量的遍歷過程，我們可以通過python，瞬間完成。

線性回歸的Python實現(xiàn)

重點：梯度下降法！

導入一些包，待用：

import numpy as npimport pandas as pdfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.preprocessing import MinMaxScalerimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snssns.set_context('notebook')sns.set_style('white')

導入案例數(shù)據(jù)：

model_data = pd.read_csv('model_data.csv',engine='python')model_data.head()

數(shù)據(jù)是一份上海的房價數(shù)據(jù)，我們要把房屋價格作為因變量y,房屋面積，房間數(shù)附近餐飲POI數(shù)量，評論，距離市中心距離等作為自變量，擬合一個線性回歸模型，用于預測房價。

根據(jù)要求提取自變量和因變量：

feat_cols = model_data.columns.tolist()[1:]print(feat_cols)

X = model_data[feat_cols].valuesy = model_data['價格'].values

構建損失函數(shù)：

def Cost_Function(X,y,theta): ''' 需要傳入的參數(shù)為 X：自變量 y:應變量 theta:權重 使用均方誤差（MSE），作為損失函數(shù) ''' m = y.size #求出y的個數(shù)（一共多少條數(shù)據(jù)） t = X.dot(theta) #權重和變量點乘，計算出使用當前權重時的預測值 c = 0 #定義損失值 c = 1/(2*m) * (np.sum(np.square(t-y))) #預測值與實際值的差值，平方后除以數(shù)據(jù)的條數(shù)，計算出均方誤差。最后乘以1/2（無實際意義，方便以后計算） return c #返回損失值

*θ為每個變量前的權重，什么是權重？比如y=2x,2就是自變量x的權重

求損失值我們就用先前說到的損失函數(shù)。如果你夠仔細，可能會有一個問題，我們的損失函數(shù)前需要乘以一個1/2，似乎沒有特別的意義。恭喜你很機智，1/2的確沒有任何意義，只是為了接下來方便求導。

構建梯度下降法：

def GradientDescent(X, y, feat_cols, alpha=0.3, num_iters=10000): ''' 需傳入?yún)?shù)為 X：自變量 y:應變量 feat_cols：變量列表 alpha：學習率，默認0.3 num_iters：迭代次數(shù)，默認10000次 使用梯度下降法迭代權重 ''' scaler = MinMaxScaler() #最大最小值歸一化自變量 X = scaler.fit_transform(X) #歸一化 m = y.size #求出y的個數(shù)（一共多少條數(shù)據(jù)） J_history = np.zeros(num_iters) #創(chuàng)建容納每次迭代后損失值得矩陣，初始值為0 theta = np.zeros(len(feat_cols)+1) #設置默認權重，0 for iter in np.arange(num_iters): #根據(jù)迭代次數(shù)，開始迭代 t = X.dot(theta) #權重和變量點乘，計算出使用當前權重時的預測值 theta = theta - alpha*(1/m)*(X.T.dot(t-y)) #對代價函數(shù)求導，算出下降最快的方向，乘以學習率（下降的速度），再用原來的權重相減，得到新的權重 J_history[iter] = Cost_Function(X, y, theta) #求出新的權重時的損失值，存入矩陣 return(theta, J_history) #返回最終的權重和歷次迭代的損失值

這是構造模型最為核心的部分。我們不斷迭代，尋找最優(yōu)的那條“紅線”的過程，其實是在不斷調整每個自變量的權重。而每個權重每次到底怎么調整，增大還是減小（方向），這就需要我們對損失函數(shù)求導。

如果數(shù)學不好，不理解，我們用圖來說明一下：

好比，我們站在懸崖頂端，要找到最快能達到懸崖底部的方向，那么顯而易見，你所在位置最陡峭的方向，就是正確的方向，而求導就是找到最陡峭的方向（切線斜率絕對值最大的點）。

山坡是凹凸不平的，所以我們每走一步都需要重新尋找方向，這就是迭代的過程；其次，每次的步子也不能跨太大，萬一跨錯地方了，不好糾正，所以我們又需要設置一個步子的大小——學習率。

所以梯度下降法的公式就是：

每一次更新的權重= 前一次的權重-學習率X損失函數(shù)的導數(shù)。

在理解了下山這個場景以后，我們就能順利的完成梯度下降法的構建，并且通過python函數(shù)求出最后每個變量的權重和每次迭代過后的損失值。

構建繪制損失值變化圖的函數(shù)：

def plot_Cost(GD_result): ''' 繪制權重變化情況 需傳入?yún)?shù)為 GD_result：梯度下降法結果 ''' theta , Cost = GD_result #得到權重和損失值 print('theta: ',theta.ravel()) #打印權重 plt.plot(Cost) #繪制損失值變化情況 plt.title('COST change') plt.ylabel('Cost') plt.xlabel('Iterations') plt.grid() plt.show()

這個很簡單，就是通過前面梯度下降法求得的歷次迭代后的損失值，畫出變化曲線。

最后把所有函數(shù)匯總，就是我們的線性回歸模型了：

def lr_function(X,y,feat_cols): ''' 需要輸入的變量為 X：自變量 y:應變量 feat_cols：變量列表 ''' def score(y_p,y): ''' y_p:預測值 y:真實值 dimension：樣本數(shù)量 計算R^和調整R^ ''' aa=y_p.copy(); bb=y.copy() if len(aa)!=len(bb): print('not same length') return np.nan cc=aa-bb wcpfh=sum(cc**2) #誤差平方和 # RR means R_Square RR=1-sum((bb-aa)**2)/sum((bb-np.mean(bb))**2) return RR#返回R^ X = np.c_[np.ones(X.shape[0]),X] GD_result = GradientDescent(X, y, feat_cols) plot_Cost(GD_result) y_p = np.dot(X,GD_result[0]) RR = score(y_p,y) return RR,y_p,GD_result[0] #返回R^,預測值

一般對于每個機器學習模型，都需要有一個指標衡量其擬合程度，而線性模型我們使用的是我們所熟知的**可決系數(shù)R2**。為了求出R2，

我在函數(shù)中又套用了一個簡單的求解函數(shù)，具體過程不贅述了，通讀代碼就能明白。通常R^2越接近1，表示模型擬合程度越好。

模型封裝完畢，下面是見證奇跡的時刻！

model_result = lr_function(X,y,feat_cols)print('R^2為:{}'.format(round(model_result[0],4)))

通過模型，我們求出了每個自變量的權重，圖表反應了損失值由大變小的過程，在10000次迭代的過程中，一開始速度很快，越到后面越趨于平緩。

最后是R^2為0.70，有70%的擬合度，尚可。

線性回歸模型的驗證

為了驗證我們自己編寫的模型是否準確，我們也可以使用python機器學習工具包sklearn，對同樣的數(shù)據(jù)，用線性回歸模型擬合，查看最后的R^2是否一致。

先對變量標準化：

scaler = MinMaxScaler()X = scaler.fit_transform(X)

使用LinearRegression()進行擬合，并求出R^2：

lr = LinearRegression()lr.fit(X,y)R2 = lr.score(X,y)print('R^2為:{}'.format(round(R2,4)))

R^2同樣為0.7，代表我們自己編寫的模型沒有問題。

最后，我們繪制一張真實值與預測值對比圖，可視化模型結果：

黑色標記是以真實值為橫坐標，預測值為縱坐標。綠色的線為用sklearn擬合的線性回歸模型，紅色的線為使用我們自己編寫的模型擬合的回歸線。我們發(fā)現(xiàn)，兩條線幾乎完全重合在一起，說明結論是一致的。

好了，如何不通過調包，一步步運用數(shù)學知識和代碼優(yōu)勢還原線性回歸模型的方法就講到這里。如果，你完全讀懂了上述所有操作，那么我相信你已經(jīng)入門了。

關于如何用python推導線性回歸模型的問題就講到這里，喜歡就點個關注吧~更多的 Python實戰(zhàn)教程也會繼續(xù)為大家更新！