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這篇文章主要介紹Python中如何實現(xiàn)最小二乘法,文中介紹的非常詳細,具有一定的參考價值,感興趣的小伙伴們一定要看完!
之所以說”使用”而不是”實現(xiàn)”,是因為python的相關(guān)類庫已經(jīng)幫我們實現(xiàn)了具體算法,而我們只要學(xué)會使用就可以了。隨著對技術(shù)的逐漸掌握及積累,當(dāng)類庫中的算法已經(jīng)無法滿足自身需求的時候,我們也可以嘗試通過自己的方式實現(xiàn)各種算法。
言歸正傳,什么是”最小二乘法”呢?
定義:最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù),它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。
作用:利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。
原則:以”殘差平方和最小”確定直線位置(在數(shù)理統(tǒng)計中,殘差是指實際觀察值與估計值之間的差)
數(shù)學(xué)公式:
基本思路:對于一元線性回歸模型,假設(shè)從總體中獲取了n組觀察值(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn),對于平面中的這n個點,可以使用無數(shù)條曲線來擬合。而線性回歸就是要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值,也就是說,這條直線應(yīng)該盡可能的處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置。因此,選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為:使總的擬合誤差(即總殘差)達到最小。
實現(xiàn)代碼如下,代碼中已經(jīng)詳細的給了注釋:
##最小二乘法 import numpy as np ##科學(xué)計算庫 import scipy as sp ##在numpy基礎(chǔ)上實現(xiàn)的部分算法庫 import matplotlib.pyplot as plt ##繪圖庫 from scipy.optimize import leastsq ##引入最小二乘法算法 ''' 設(shè)置樣本數(shù)據(jù),真實數(shù)據(jù)需要在這里處理 ''' ##樣本數(shù)據(jù)(Xi,Yi),需要轉(zhuǎn)換成數(shù)組(列表)形式 Xi=np.array([6.19,2.51,7.29,7.01,5.7,2.66,3.98,2.5,9.1,4.2]) Yi=np.array([5.25,2.83,6.41,6.71,5.1,4.23,5.05,1.98,10.5,6.3]) ''' 設(shè)定擬合函數(shù)和偏差函數(shù) 函數(shù)的形狀確定過程: 1.先畫樣本圖像 2.根據(jù)樣本圖像大致形狀確定函數(shù)形式(直線、拋物線、正弦余弦等) ''' ##需要擬合的函數(shù)func :指定函數(shù)的形狀 def func(p,x): k,b=p return k*x+b ##偏差函數(shù):x,y都是列表:這里的x,y更上面的Xi,Yi中是一一對應(yīng)的 def error(p,x,y): return func(p,x)-y ''' 主要部分:附帶部分說明 1.leastsq函數(shù)的返回值tuple,第一個元素是求解結(jié)果,第二個是求解的代價值(個人理解) 2.官網(wǎng)的原話(第二個值):Value of the cost function at the solution 3.實例:Para=>(array([ 0.61349535, 1.79409255]), 3) 4.返回值元組中第一個值的數(shù)量跟需要求解的參數(shù)的數(shù)量一致 ''' #k,b的初始值,可以任意設(shè)定,經(jīng)過幾次試驗,發(fā)現(xiàn)p0的值會影響cost的值:Para[1] p0=[1,20] #把error函數(shù)中除了p0以外的參數(shù)打包到args中(使用要求) Para=leastsq(error,p0,args=(Xi,Yi)) #讀取結(jié)果 k,b=Para[0] print("k=",k,"b=",b) print("cost:"+str(Para[1])) print("求解的擬合直線為:") print("y="+str(round(k,2))+"x+"+str(round(b,2))) ''' 繪圖,看擬合效果. matplotlib默認不支持中文,label設(shè)置中文的話需要另行設(shè)置 如果報錯,改成英文就可以 ''' #畫樣本點 plt.figure(figsize=(8,6)) ##指定圖像比例: 8:6 plt.scatter(Xi,Yi,color="green",label="樣本數(shù)據(jù)",linewidth=2) #畫擬合直線 x=np.linspace(0,12,100) ##在0-15直接畫100個連續(xù)點 y=k*x+b ##函數(shù)式 plt.plot(x,y,color="red",label="擬合直線",linewidth=2) plt.legend(loc='lower right') #繪制圖例 plt.show()
結(jié)果如下所示:
輸出結(jié)果:
k= 0.900458420439 b= 0.831055638877
cost:1
求解的擬合直線為:
y=0.9x+0.83
繪圖結(jié)果:
補充說明:簡單的列舉了直線的情況,曲線的求解方式類似,但是曲線會存在過度擬合的情況,在以后的博客中會講到。
以上是“Python中如何實現(xiàn)最小二乘法”這篇文章的所有內(nèi)容,感謝各位的閱讀!希望分享的內(nèi)容對大家有幫助,更多相關(guān)知識,歡迎關(guān)注億速云行業(yè)資訊頻道!
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