python中伯努利分布的示例分析

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伯努利分布 是一種離散分布,有兩種可能的結(jié)果。1表示成功，出現(xiàn)的概率為p(其中0<p<1)。0表示失敗，出現(xiàn)的概率為q=1-p。這種分布在人工智能里很有用，比如你問(wèn)機(jī)器今天某飛機(jī)是否起飛了，它的回復(fù)就是Yes或No，非常明確，這個(gè)分布在分類算法里使用比較多，因此在這里先學(xué)習(xí) 一下。

概率分布有兩種類型：離散（discrete）概率分布和連續(xù)（continuous）概率分布。

離散概率分布也稱為概率質(zhì)量函數(shù)（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項(xiàng)分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。

連續(xù)概率分布也稱為概率密度函數(shù)（probability density function），它們是具有連續(xù)取值（例如一條實(shí)線上的值）的函數(shù)。正態(tài)分布（normal distribution）、指數(shù)分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都屬于連續(xù)概率分布。

from scipy.stats import binom #導(dǎo)入伯努利分布
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#次數(shù)
n = 10
#概率
p = 0.3
#導(dǎo)入特征系數(shù)
k = np.arange(0, 21)
#伯努利分布的特征值導(dǎo)入
binomial = binom.pmf(k, n, p)
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('Binomial: n = %i, p=%0.2f' % (n, p), fontsize=15)
plt.xlabel('Number of successes')
plt.ylabel('Probability of sucesses', fontsize=15)
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\12.png')
plt.show()

二項(xiàng)分布：離散型概率分布，n 重伯努利分布

如果隨機(jī)變量序列 Xn(n=1, 2, …) 中的隨機(jī)變量均服從與參數(shù)為 p 的伯努利分布，那么隨機(jī)變量序列 Xn 就形成了參數(shù)為 p 的 n 重伯努利試驗(yàn)。例如，假定重復(fù)拋擲一枚均勻硬幣 n 次，如果在第 i 次拋擲中出現(xiàn)正面，令 Xi=1；如果出現(xiàn)反面，則令 Xi=0。那么，隨機(jī)變量 Xn(n=1, 2, …) 就形成了參數(shù)為 1/2 的 n 重伯努利試驗(yàn)。

可見(jiàn)，n 重伯努利試驗(yàn)需滿足下列條件：

每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即 X=1，或 X=0

各次試驗(yàn)中的事件互相獨(dú)立，且 X=1 和 X=0 的概率分別為 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利試驗(yàn)的結(jié)果就是 n 重伯努利分布，即二項(xiàng)分布。反之，當(dāng) Xn(n=1) 時(shí)，二項(xiàng)分布的結(jié)果服從于伯努利分布。因?yàn)槎?xiàng)分布實(shí)際上是進(jìn)行了 n 次的伯努利分布，所以二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量期望為 E(x)=np，方差為 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，滿足二項(xiàng)分布的樣本空間有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，假設(shè)進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn)，滿足二項(xiàng)分布（每次試驗(yàn)成功的概率為 p，失敗的概率為 1?p），那么成功的次數(shù) X 就是一個(gè)參數(shù)為 n 和 p 的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即滿足下述公式：

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

X=k，試驗(yàn) n 次，成功的次數(shù)恰好有 k 次的隨機(jī)變量（事件）

C(n, k)，表示從集合 n 中取出 k 個(gè)元素的組合數(shù)，結(jié)果為 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明參加雅思考試，每次考試的通過(guò)率 1/3，不通過(guò)率為 q=2/3。如果小明連續(xù)參加考試 4 次，那么恰好有兩次通過(guò)的概率是多少？

解析：因?yàn)槊看慰荚囍挥袃煞N結(jié)果，通過(guò)或不通過(guò)，符合條件 (1)；每次考試結(jié)果互相獨(dú)立，且概率不變，符合條件 (2)。滿足二項(xiàng)分布樣本，代入公式求解得概率為：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二項(xiàng)分布概率直方圖：

圖形特性：

當(dāng) p=q 時(shí)，圖形是對(duì)稱的

當(dāng) p≠q 時(shí)，圖形呈偏態(tài)，p<q 與 p>q 的偏斜方向相反

當(dāng) (n+1)p 不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 時(shí)達(dá)到最大值

當(dāng) (n+1)p 為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 時(shí)達(dá)到最大值

NOTE：當(dāng) n 很大時(shí)，即使 p≠q，二項(xiàng)分布概率直方圖的偏態(tài)也會(huì)逐漸降低，最終成為正態(tài)分布。也就是說(shuō)，二項(xiàng)分布的極限情形即為正態(tài)分布，故當(dāng) n 很大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率可用正態(tài)分布的概率作為近似值。那么 n 需要多大才可謂之大呢?

一般規(guī)定，當(dāng) p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 時(shí)，這時(shí)的 n 就足夠大了，可以用正態(tài)分布的概率作為近似值。則正態(tài)分布參數(shù) μ=np，σ^2=np(1-p) 。

二項(xiàng)分布:

from scipy.stats import binom 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.5
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt=binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print(mean,var,skew,kurt)
#ppf:累積分布函數(shù)的反函數(shù)。q=0.01時(shí)，ppf就是p(X<x)=0.01時(shí)的x值。
x=np.arange(binom.ppf(0.01,n,p),binom.ppf(0.99,n,p))
ax.plot(x,binom.pmf(x,n,p),'o')
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.title(u'二項(xiàng)分布概率質(zhì)量函數(shù)')
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\1.png')
plt.show()

補(bǔ)充拓展：python--scipy--1離散概率分布:伯努利分布

#導(dǎo)入包
#數(shù)組包
import numpy as np
#繪圖包
import matplotlib.pyplot as plt
#統(tǒng)計(jì)計(jì)算包的統(tǒng)計(jì)模塊
from scipy import stats
'''
arange用于生成一個(gè)等差數(shù)組，arange([start, ]stop, [step, ]
使用見(jiàn)文檔：https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.arange.html
'''

'''
第1步，定義隨機(jī)變量：1次拋硬幣
成功指正面朝上記錄為1，失敗指反面朝上記錄為0
'''
X = np.arange(0, 2,1)
X

array([0, 1])

'''
伯努利分布官方使用文檔：
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.bernoulli.html#scipy.stats.bernoulli
'''
#第2步，#求對(duì)應(yīng)分布的概率:概率質(zhì)量函數(shù) (PMF)
#它返回一個(gè)列表，列表中每個(gè)元素表示隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)值的概率
p = 0.5 # 硬幣朝上的概率
pList = stats.bernoulli.pmf(X, p)
pList

array([0.5, 0.5])

#第3步，繪圖
'''
plot默認(rèn)繪制折線，這里我們只繪制點(diǎn)，所以傳入下面的參數(shù)：
marker：點(diǎn)的形狀，值o表示點(diǎn)為圓圈標(biāo)記（circle marker）
linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個(gè)點(diǎn)的折線
'''
plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于繪制豎直線(vertical lines),
參數(shù)說(shuō)明：vline(x坐標(biāo)值, y坐標(biāo)最小值, y坐標(biāo)值最大值)
我們傳入的X是一個(gè)數(shù)組，是給數(shù)組中的每個(gè)x坐標(biāo)值繪制豎直線，
豎直線y坐標(biāo)最小值是0，y坐標(biāo)值最大值是對(duì)應(yīng)pList中的值
官網(wǎng)文檔：https://matplotlib.org/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.vlines
'''
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] 
plt.vlines(X, 0, pList)
#x軸文本
plt.xlabel('隨機(jī)變量：拋硬幣1次')
#y軸文本
plt.ylabel('概率')
#標(biāo)題
plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p)
#顯示圖形
plt.show()

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