【C++】 斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：

       F（0）=0，（n = 0）

       F（1）=1，（n = 1）

       F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368

特別指出：第0項(xiàng)是0，第1項(xiàng)是第一個(gè)1。

這個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

現(xiàn)實(shí)生活中，運(yùn)用斐波那契數(shù)列的例子很多，而且這也是面試中經(jīng)常會(huì)考到的經(jīng)典問題

那么，這么一個(gè)看似不好想象的規(guī)律用代碼怎么實(shí)現(xiàn)呢？

這里有幾種方法：

1. 遞歸實(shí)現(xiàn)：
   <時(shí)間復(fù)雜度O（2^N）>
   

#include <iostream>
using namespace std;

long long Fibonacci1(long long n) //用long long類型考慮到大數(shù)問題
{
   if (n < 2)
   {
     return n;
   }
   else
   {    
     return FIB(n-1) + FIB(n-2);
   }
}

int main()
{
   cout << Fibonacci1(5) << endl; // 求某一項(xiàng)的值    
   system("pause");
   return 0;
}

遞歸似乎看起來很簡單明了，若給的項(xiàng)數(shù)n較大時(shí)，其效率較低。

2.非遞歸實(shí)現(xiàn)：

<時(shí)間復(fù)雜度O（N）>

long long Fibonacci2(int n)
{
   long long * fibArray = new long long[n+1];// 根據(jù)項(xiàng)數(shù)n開辟數(shù)組
   fibArray[0] = 0;
   fibArray[1] = 1; // 手動(dòng)設(shè)置好前兩個(gè)數(shù)，由此可以求得下一個(gè)數(shù)的值

    for(int i = 2; i <= n ; ++i)
   {
      fibArray[i] = fibArray[i-1] + fibArray[i-2]; // 當(dāng)前數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)加和
   }

   long long ret = fibArray[n];
    delete[] fibArray ;

   return ret ;
}

非遞歸效率相對遞歸較高，但是兩者意義相同。

這兩種方法，都需要掌握。

下面將兩種方法整合一起：

#include <iostream>
using namespace std;

long long fibonacci_1(int n)//遞歸
{
    if (n<2)
    {
        return n;
    }
    return fibonacci_1(n - 1) + fibonacci_1(n - 2);
}

void fibonacci_2(int n)//非遞歸
{
    int i;
    long long *fibArray = new long long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (i = 2; i<n; i++)
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    for (i = 0; i<n; i++)
        cout << fibArray[i] << " ";
}

int main(void)
{
    int i, n, k;
    printf("請輸入斐波那契數(shù)列項(xiàng)數(shù) ：");
    cin >>n;
    printf("請選擇：1.遞歸   2.非遞歸 ：");
    cin >> k;
    if (k == 1)
    for (i = 0; i<n; i++)
        cout << fibonacci_1(i) <<" ";
    else
        fibonacci_2(n);

    system("pause");
    return 0;
}

若有紕漏，歡迎指正。