map實現(xiàn)之紅黑樹

紅黑樹是一種自平衡二叉查找樹，是在計算機科學中用到的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，典型的用途是實現(xiàn)關(guān)聯(lián)數(shù)組。它是在1972年由Rudolf Bayer發(fā)明的，他稱之為"對稱二叉B樹"，它現(xiàn)代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年寫的一篇論文中獲得的。它是復(fù)雜的，但它的操作有著良好的最壞情況運行時間，并且在實踐中是高效的: 它可以在O(log n)時間內(nèi)做查找，插入和刪除，這里的n 是樹中元素的數(shù)目。

紅黑樹是一種很有意思的平衡檢索樹。它的統(tǒng)計性能要好于平衡二叉樹(有些書籍根據(jù)作者姓名，Adelson-Velskii和Landis，將其稱為 AVL-樹)，因此，紅黑樹在很多地方都有應(yīng)用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)應(yīng)用了紅黑樹的變體(SGI STL中的紅黑樹有一些變化，這些修改提供了更好的性能，以及對set操作的支持)。

背景和術(shù)語

紅黑樹是一種特定類型的二叉樹，它是在計算機科學中用來組織數(shù)據(jù)比如數(shù)字的塊的一種結(jié)構(gòu)。所有數(shù)據(jù)塊都存儲在節(jié)點中。這些節(jié)點中的某一個節(jié)點總是擔當啟始位置的功能，它不是任何節(jié)點的兒子；我們稱之為根節(jié)點或根。它有最多兩個"兒子"，都是它連接到的其他節(jié)點。所有這些兒子都可以有自己的兒子，以此類推。這樣根節(jié)點就有了把它連接到在樹中任何其他節(jié)點的路徑。

如果一個節(jié)點沒有兒子，我們稱之為葉子節(jié)點，因為在直覺上它是在樹的邊緣上。子樹是從特定節(jié)點可以延伸到的樹的某一部分，其自身被當作一個樹。在紅黑樹中，葉子被假定為 null 或空。

由于紅黑樹也是二叉查找樹，它們當中每一個節(jié)點都的比較值都必須大于或等于在它的左子樹中的所有節(jié)點，并且小于或等于在它的右子樹中的所有節(jié)點。這確保紅黑樹運作時能夠快速的在樹中查找給定的值。

用途和好處

紅黑樹和AVL樹一樣都對插入時間、刪除時間和查找時間提供了最好可能的最壞情況擔保。這不只是使它們在時間敏感的應(yīng)用如即時應(yīng)用(real time application)中有價值，而且使它們有在提供最壞情況擔保的其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中作為建造板塊的價值；例如，在計算幾何中使用的很多數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都可以基于紅黑樹。

紅黑樹在函數(shù)式編程中也特別有用，在這里它們是最常用的持久數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之一，它們用來構(gòu)造關(guān)聯(lián)數(shù)組和集合，在突變之后它們能保持為以前的版本。除了O(log n)的時間之外，紅黑樹的持久版本對每次插入或刪除需要O(log n)的空間。

紅黑樹是 2-3-4樹的一種等同。換句話說，對于每個 2-3-4 樹，都存在至少一個數(shù)據(jù)元素是同樣次序的紅黑樹。在 2-3-4 樹上的插入和刪除操作也等同于在紅黑樹中顏色翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)。這使得 2-3-4 樹成為理解紅黑樹背后的邏輯的重要工具，這也是很多介紹算法的教科書在紅黑樹之前介紹 2-3-4 樹的原因，盡管 2-3-4 樹在實踐中不經(jīng)常使用。

屬性

紅黑樹是每個節(jié)點都有顏色特性的二叉查找樹，顏色的值是紅色或黑色之一。除了二叉查找樹帶有的一般要求，我們對任何有效的紅黑樹加以如下增補要求:

1.節(jié)點是紅色或黑色。

2.根是黑色。

3.所有葉子（外部節(jié)點）都是黑色。

4.每個紅色節(jié)點的兩個子節(jié)點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續(xù)的紅色節(jié)點)

5.從每個葉子到根的所有路徑都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點。

這些約束強制了紅黑樹的關(guān)鍵屬性: 從根到葉子的最長的可能路徑不多于最短的可能路徑的兩倍長。結(jié)果是這個樹大致上是平衡的。因為操作比如插入、刪除和查找某個值都要求與樹的高度成比例的最壞情況時間，這個在高度上的理論上限允許紅黑樹在最壞情況下都是高效的，而不同于普通的二叉查找樹。

要知道為什么這些特性確保了這個結(jié)果，注意到屬性4導(dǎo)致了路徑不能有兩個毗連的紅色節(jié)點就足夠了。最短的可能路徑都是黑色節(jié)點，最長的可能路徑有交替的紅色和黑色節(jié)點。因為根據(jù)屬性5所有最長的路徑都有相同數(shù)目的黑色節(jié)點，這就表明了沒有路徑能多于任何其他路徑的兩倍長。

在很多樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的表示中，一個節(jié)點有可能只有一個兒子，而葉子節(jié)點包含數(shù)據(jù)。用這種范例表示紅黑樹是可能的，但是這會改變一些屬性并使算法復(fù)雜。為此，本文中我們使用 "nil 葉子" 或"空(null)葉子"，如上圖所示，它不包含數(shù)據(jù)而只充當樹在此結(jié)束的指示。這些節(jié)點在繪圖中經(jīng)常被省略，導(dǎo)致了這些樹好像同上述原則相矛盾，而實際上不是這樣。與此有關(guān)的結(jié)論是所有節(jié)點都有兩個兒子，盡管其中的一個或兩個可能是空葉子。

操作

在紅黑樹上只讀操作不需要對用于二叉查找樹的操作做出修改，因為它也二叉查找樹。但是，在插入和刪除之后，紅黑屬性可能變得違規(guī)?；謴?fù)紅黑屬性需要少量(O(log n))的顏色變更(這在實踐中是非常快速的)并且不超過三次樹旋轉(zhuǎn)(對于插入是兩次)。這允許插入和刪除保持為 O(log n) 次，但是它導(dǎo)致了非常復(fù)雜的操作。