算法學(xué)習(xí)之動態(tài)規(guī)劃（求矩陣連乘最小相乘次數(shù)）

 基本思想：動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想是將帶求解的問題劃分成若干個獨立子問題，根據(jù)求得子問題的解合并而得到原問題的解。而動態(tài)規(guī)劃劃分的子問題往往不是相互獨立的，因此若采用同分治法相同的求解問題的方法會導(dǎo)致大量的子問題被重復(fù)計算，為了避免這種情況發(fā)生，我們可以用一個表來記錄我們求得的子問題的解，無論該子問題的解以后是否會用到，只要被計算，就將其填入表中。這便是動態(tài)規(guī)劃的基本思想。

求解的基本步驟：

（1）找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結(jié)構(gòu)特征。

（2）遞歸的定義最優(yōu)值。

（3）以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。

（4）根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。

時間、精力和水平有限，無法給出專業(yè)詳細(xì)地分析，但我會把自己掌握的部分毫無保留分享給大家。

下面的程序我盡可能給出最詳細(xì)的注釋，如有錯誤還請及時指出，以避免產(chǎn)生沒必要的誤會。

#include <iostream>
//數(shù)組p存儲連乘矩陣的維數(shù)
int p[] = { 30, 35, 35, 15, 15, 5, 5, 10, 10, 20, 20, 25 };
int pcount = sizeof(p) / sizeof(*p);
//二維數(shù)組m存放所有子問題的最優(yōu)值
int m[6][6];
//二維數(shù)組s存放斷開的位置k
int s[6][6];
//用于打印二維數(shù)組
void debug(int array[][6]);
//預(yù)初始化二維數(shù)組
void initialization(int array[][6]);
//打印最優(yōu)解的構(gòu)成
void Traceback(int i, int j, int array[][6]);
//根據(jù)自底向上的方式計算所有子問題最優(yōu)值
void MatrixChain(int *p, int n, int m[][6], int s[][6])
{
	initialization(m);	
	initialization(s);	
	//注意n/2得到的是相乘矩陣的個數(shù)	
	for (int i = 0; i < n/2; i++) m[i][i] = 0;    //單個矩陣最優(yōu)值為0	
	//外層循環(huán)，從矩陣A1-A5依次計算矩陣鏈長度為2,3,4,5	
	for (int r = 1; r < n/2;r++)	
		//內(nèi)層循環(huán),計算矩陣鏈長度為x(x可能為2,3,4,5)的所有值（例如：若x=2，
		//則計算m[1][2],m[2][3],m[3][4],m[4][5],m[5][6]）	
	for (int i = 0; i < n/2 - r; i++)
		//隨矩陣鏈長度x增加,i的最大值與(n/2-r)	                                 
		//構(gòu)成對應(yīng)關(guān)系	
	{		
		int j = i + r;							//列數(shù)j取決于矩陣鏈長度和行數(shù)i		
		m[i][j] = m[i + 1][j] + p[2 * i] * p[2 * i + 1] * p[j * 2 + 1];		
		//這里先求出一個基本解，以A0矩陣劃分（A[0]*A[1:5]）		
		//std::cout << "m"<<"["<<i<<"]"<<"["<<j<<"]"<<m[i][j] << std::endl;		
		s[i][j] = i;							//保存劃分的位置，Trackback求最優(yōu)解用到		
		for (int k = i + 1; k < j; k++)			//對每個可能劃分的位置進(jìn)行檢索		
		{			
			int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[2 * i] * p[2 * k + 1] * p[2 * j + 1];     //求最優(yōu)值的遞推式			
		//如果計算得到的值比基本解更優(yōu)，那么替換原來的最優(yōu)值和劃分位置			
		if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}		
		}	
	}

}
void debug(int array[][6])
{
	for (int i = 0; i < 6; i++)	
	{
		for (int j = 0; j < 6; j++)			
		std::cout << array[i][j] << " ";		
		std::cout << std::endl;	
	}
}

void initialization(int array[][6])
{	
	for (int i = 0; i < 6; i++)	
		for (int j = 0; j < 6; j++)		
		array[i][j] = -1;
}

void Traceback(int i, int j, int array[][6])
{	
	using std::cout;	
	using std::endl;	
	if (i == j) return;	
	Traceback(i, array[i][j], array);	
	Traceback(array[i][j] + 1, j, array);	
	cout << "Multiply A" << i << "," << array[i][j];	
	cout << " and A" << (array[i][j] + 1) << "," << j << endl;
}

//一小段測試程序，不懂請盡可能多調(diào)試以便理解。
int main()
{	
	MatrixChain(p, pcount, m, s);	
	debug(m);	
	//debug(s);	
	Traceback(1, 5, s);	
	return 0;
}