八、樹和二叉樹

一、樹的定義

樹的定義
?樹是一種非線性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
?樹是由 n (n≥0) 個結(jié)點組成的有限集合
??如果 n = 0，稱為空樹 ；
??如果 n > 0，則 ：
???有一個特定的稱之為根 (root) 的結(jié)點，它只有直接后繼，但沒有直接前驅(qū)
???除根以外的其它結(jié)點劃分為 m (m≥0) 個互不相交的有限集合T0, T1, …,Tm-1， 每個集合又是一棵樹， 并且稱之為根的子樹(subTree)

樹家族中的概念
?樹的結(jié)點包含一個數(shù)據(jù)及若干指向子樹的分支
?結(jié)點擁有的子樹數(shù)稱為結(jié)點的度
??度為0的結(jié)點稱為葉結(jié)點
??度不為0的結(jié)點稱為分支結(jié)點
?樹的度定義為所有結(jié)點中的度的最大值

?結(jié)點的直接后繼稱為該結(jié)點的孩子
??相應(yīng)的，該結(jié)點稱為孩子的雙親
?結(jié)點的孩子的孩子的…… 稱為該結(jié)點的子孫
??相應(yīng)的，該結(jié)點稱為子孫的祖先
?同一個雙親的孩子之間互稱兄弟

?結(jié)點的層次
??根為第1層
??根的孩子為第2層
? ?……
?樹中結(jié)點的最大層次稱為樹的深度或高度

如果樹中結(jié)點的各子樹從左向右是有次序的，子樹間不能互換位置 ，則稱該樹為有序樹 ，否則為無序樹。

森林是由 n ( n≥0) 棵互不相交的樹組成的集合

樹的一些常用操作

創(chuàng)建樹
銷毀樹
清空樹
插入結(jié)點
刪除結(jié)點
獲取結(jié)點
獲取根結(jié)點
獲取樹的結(jié)點數(shù)
獲取樹的高度
獲取樹的度

二、樹的存儲結(jié)構(gòu)

樹的存儲結(jié)構(gòu)
?無法直接用數(shù)組表示樹的邏輯結(jié)構(gòu)
?但可以設(shè)計結(jié)構(gòu)體數(shù)組對結(jié)點間的關(guān)系進(jìn)行表述

利用鏈表組織樹中的各個結(jié)點
鏈表中的前后關(guān)系不代表結(jié)點間的邏輯關(guān)系
結(jié)點的邏輯關(guān)系由 child 數(shù)據(jù)域描述
child 數(shù)據(jù)域保存其他結(jié)點的存儲地址

三、二叉樹的定義

另一種樹結(jié)構(gòu)模型
孩子兄弟表示法模型
?每個結(jié)點都有一個指向其第一個孩子的指針
?每個結(jié)點都有一個指向其第一個右兄弟的指針

每個結(jié)點包含一個數(shù)據(jù)指針和兩個結(jié)點指針
?數(shù)據(jù)指針 ： 指向保存于樹中的數(shù)據(jù)
?孩子結(jié)點指針 ： 指向第一個孩子
?兄弟結(jié)點指針 ： 指向第一個右兄弟

孩子兄弟表示法的特點
?能夠表示任意的樹形結(jié)構(gòu)
?每個結(jié)點中有且僅有三個指針域
??數(shù)據(jù)指針，孩子結(jié)點指針，兄弟結(jié)點指針
?每個結(jié)點的結(jié)構(gòu)簡單
??只有孩子結(jié)點指針和兄弟結(jié)點指針構(gòu)成了“樹杈"
二叉樹的定義
二叉樹是由n ( n ≥0) 個結(jié)點組成的有限集合， 該集合或者為空， 或者是由一個根結(jié)點加上兩棵分別稱為左子樹和 右子樹的 、 互不相交的二叉樹組成。

特殊的二叉樹

滿二叉樹(Full Binary Tree)
如果 二叉樹中所有分支結(jié)點的度數(shù)都為2， 且葉子結(jié)點都在同一層次上 ， 則稱這類二叉樹為滿二叉樹 。

完全二叉樹 (Complete Binary Tree)
如果一棵具有n個結(jié)點的高度為k的二叉樹， 它的每一個結(jié)點都與高度為k 的滿二叉樹中編號為1—n 的結(jié)點一一對應(yīng)， 則稱這棵二叉樹為完全二叉樹。（從上到下從左到右編號)
完全二叉樹的葉結(jié)點僅出現(xiàn)在最下面兩層
??最下層的葉結(jié)點一定出現(xiàn)在左邊
??倒數(shù)第二層的葉結(jié)點一定出現(xiàn)在右邊
?完全二叉樹中度為1的結(jié)點只有左孩子
?同樣結(jié)點數(shù)的二叉樹 ， 完全二叉樹的高度最小

通用樹實現(xiàn)源碼