Java如何通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃設(shè)計(jì)股票買賣最佳時(shí)機(jī)

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買賣股票的最佳時(shí)機(jī)

給定一個(gè)數(shù)組 prices ，它的第 i 個(gè)元素 prices[i] 表示一支給定股票第 i 天的價(jià)格。你只能選擇 某一天 買入這只股票，并選擇在 未來的某一個(gè)不同的日子 賣出該股票。設(shè)計(jì)一個(gè)算法來計(jì)算你所能獲取的最大利潤。返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回 0 。

示例：

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

因?yàn)閷?duì)每一天只有兩個(gè)狀態(tài)，買入股票和賣出股票，因此定義 dp[][2]

1. dp[i][2] 數(shù)組表示的含義 ：

dp[i][0] 表示第 i 天買入股票能獲得的最大利潤，dp[i][1] 表示第一天賣出股票能獲得的最大利潤

2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])

解釋： 第 i 天對(duì)買入股票狀態(tài)，只有兩種操作，買入股票或者不買股票。因此，第 i 天能獲得的最大利潤為 第 i 天不買股票（dp[i-1][0]） 和 第 i 天買入股票（-prices[i]） 的利潤的最大值。

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])

解釋： 第 i 天對(duì)賣出股票，只有兩種操作，賣出股票或者不賣出股票。因此，第 i 天能獲得的最大利潤為 第 i 天賣出股票 （dp[i-1][0] + prices[i]）和 第 i 天不賣出股票 的利潤的最大值 （dp[i-1][1]）

3. 初始化

第 0 天買入，得到的利潤為 -price[0]

第 0 天賣出，得到的利潤為 0

dp[0][0] = -price[0]
dp[0][1] = 0

代碼：

    // 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // dp 表示當(dāng)天能獲得的最大利潤
        int[][] dp = new int[prices.length][2]; // 對(duì)每一天來說，就兩個(gè)狀態(tài)，一個(gè)是買入，一個(gè)是賣出
        dp[0][0] = -prices[0]; // 第一天買入
        dp[0][1] = 0; // 第一天賣出
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }

變式一： 可以重復(fù)買入，賣出

   // 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)2 —— 可以多次買入和賣出，但是注意每次只能持有一張股票，就是必須是 買 - 賣 - 買 - 賣 - 買 - 賣 ....這種順序
    public int maxProfit2(int[] prices) {
        // 本題與上題的區(qū)別就在于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程不同 -- 本題可以用之前得到的利潤 (即 dp[i-1][1]，上一輪賣出后剩下的錢) 再去買入，而上一題必須 0-price[i] 買入
        // dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]); ---- 買入股票能得到的最大利潤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有變化
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]); // 當(dāng)天可能執(zhí)行股票買入
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]); // 當(dāng)他可能執(zhí)行股票賣出
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }

變式二：可以執(zhí)行買入賣出操作兩次

   // 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)3 —— 本題與上一題的區(qū)別在于，本題只能執(zhí)行兩次買入、賣出操作
    public int maxProfit3(int[] prices) {
        // 每次可執(zhí)行的操作狀態(tài)為 ，第一次買入、第一次賣出、第二次買入、第二次賣出，因此 dp 定義為
        int[][] dp = new int[prices.length][4];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        dp[0][2] = -prices[0];
        dp[0][3] = 0;
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][3];
    }

變式三：可以執(zhí)行買賣操作 K 次

    // 買賣股票的最佳時(shí)期 —— 最多進(jìn)行 K 次交易
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        // 就是兩次交易的升級(jí)版
        int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1]; // 奇數(shù)表示買入，偶數(shù)表示賣出
        // 初始化
        for(int j=1; j<2*k; j+=2){
            dp[0][j] = -prices[0];
        }
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            for(int j=0; j<2*k-1; j+=2){
                dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
                dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.length-1][2*k];
    }

變式四：含冷凍期

   // 買賣股票含冷凍期
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 一共四種狀態(tài) 買入 賣出（早就賣出保存賣出態(tài)，當(dāng)天賣出） 冷凍
        int dp[][] = new int[prices.length][4];
        // 初始化
        dp[0][0] = -prices[0];
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            // 買入狀態(tài) —— 前一天就是買入狀態(tài) + 前一天是賣出狀態(tài)今天買入了 + 前一天是冷凍狀態(tài)今天買入了
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], Math.max(dp[i-1][3]-prices[i], dp[i-1][2]-prices[i]) );
            // 賣出態(tài)1 —— 前一天就是賣出態(tài)1 + 前一天是冷凍態(tài)
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]);
            // 賣出態(tài)2 —— 當(dāng)天賣出了
            dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
            // 冷凍態(tài) —— 前一天是賣出態(tài)2
            dp[i][3] = dp[i-1][2];
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][1], Math.max(dp[prices.length-1][2], dp[prices.length-1][3]));
    }

變式五：含手續(xù)費(fèi)

    // 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)，含手續(xù)費(fèi)
    public int maxProfit2(int[] prices, int fee) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        // 初始化
        dp[0][0] = -prices[0] - fee;
        for(int i=1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i] - fee);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }

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