Java如何實(shí)現(xiàn)分治算法

這篇文章主要介紹了Java如何實(shí)現(xiàn)分治算法，具有一定借鑒價(jià)值，感興趣的朋友可以參考下，希望大家閱讀完這篇文章之后大有收獲，下面讓小編帶著大家一起了解一下。

一、前言

在學(xué)習(xí)分治算法之前，問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，相信大家小時(shí)候都有存錢(qián)罐的經(jīng)歷，父母親人如果給錢(qián)都會(huì)往自己的寶藏中存錢(qián)，我們每隔一段時(shí)間都會(huì)清點(diǎn)清點(diǎn)錢(qián)。但是一堆錢(qián)讓你處理起來(lái)你可能覺(jué)得很復(fù)雜，因?yàn)閿?shù)據(jù)相對(duì)于大腦有點(diǎn)龐大了，并且很容易算錯(cuò)，你可能會(huì)將它先分成幾個(gè)小份算，然后再疊加起來(lái)計(jì)算總和就獲得這堆錢(qián)的總數(shù)了

當(dāng)然如果你覺(jué)得各個(gè)部分錢(qián)數(shù)量還是太大，你依然可以進(jìn)行劃分然后合并，我們之所以這么多是因?yàn)椋?/p>

• 計(jì)算每個(gè)小堆錢(qián)的方式和計(jì)算最大堆錢(qián)的方式是相同的(區(qū)別在于體量上)

• 然后大堆錢(qián)總和其實(shí)就是小堆錢(qián)結(jié)果之和。這樣其實(shí)就有一種分治的思想。

二、分治算法介紹

分治算法是用了分治思想的一種算法，什么是分治？

分治，字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問(wèn)題，再把子問(wèn)題分成更小的子問(wèn)題……直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的直接求解，原問(wèn)題的解即子問(wèn)題的解的合并。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，分治法就是運(yùn)用分治思想的一種很重要的算法。分治法是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法（快速排序，歸并排序），傅立葉變換（快速傅立葉變換）等等。

將父問(wèn)題分解為子問(wèn)題同等方式求解，這和遞歸的概念很吻合，所以在分治算法通常以遞歸的方式實(shí)現(xiàn)(當(dāng)然也有非遞歸的實(shí)現(xiàn)方式)。分治算法的描述從字面上也很容易理解，分、治其實(shí)還有個(gè)合并的過(guò)程：

• 分(Divide)：遞歸解決較小的問(wèn)題(到終止層或者可以解決的時(shí)候停下)

• 治(Conquer)：遞歸求解，如果問(wèn)題夠小直接求解。

• 合并(Combine)：將子問(wèn)題的解構(gòu)建父類(lèi)問(wèn)題

一般分治算法在正文中分解為兩個(gè)即以上的遞歸調(diào)用，并且子類(lèi)問(wèn)題一般是不想交的(互不影響)。當(dāng)求解一個(gè)問(wèn)題規(guī)模很大很難直接求解，但是規(guī)模較小的時(shí)候問(wèn)題很容易求解并且這個(gè)問(wèn)題并且問(wèn)題滿(mǎn)足分治算法的適用條件，那么就可以使用分治算法。

那么采用分治算法解決的問(wèn)題需要 滿(mǎn)足那些條件(特征) 呢?

1 . 原問(wèn)題規(guī)模通常比較大，不易直接解決，但問(wèn)題縮小到一定程度就能較容易的解決。

2 . 問(wèn)題可以分解為若干規(guī)模較小、求解方式相同(似)的子問(wèn)題。且子問(wèn)題之間求解是獨(dú)立的互不影響。

3 . 合并問(wèn)題分解的子問(wèn)題可以得到問(wèn)題的解。

你可能會(huì)疑惑分治算法和遞歸有什么關(guān)系？其實(shí)分治重要的是一種思想，注重的是問(wèn)題分、治、合并的過(guò)程。而遞歸是一種方式(工具)，這種方式通過(guò)方法自己調(diào)用自己形成一個(gè)來(lái)回的過(guò)程，而分治可能就是利用了多次這樣的來(lái)回過(guò)程。

三、分治算法經(jīng)典問(wèn)題

對(duì)于分治算法的經(jīng)典問(wèn)題，重要的是其思想，因?yàn)槲覀兇蟛糠纸柚f歸去實(shí)現(xiàn)，所以在代碼實(shí)現(xiàn)上大部分都是很簡(jiǎn)單，而本篇也重在講述思想。

分治算法的經(jīng)典問(wèn)題，個(gè)人將它分成兩大類(lèi)：子問(wèn)題完全獨(dú)立和子問(wèn)題不完全獨(dú)立。

1 . 子問(wèn)題完全獨(dú)立就是原問(wèn)題的答案可完全由子問(wèn)題的結(jié)果推出。

2 . 子問(wèn)題不完全獨(dú)立，有些區(qū)間類(lèi)的問(wèn)題或者跨區(qū)間問(wèn)題使用分治可能結(jié)果跨區(qū)間,在考慮問(wèn)題的時(shí)候需要仔細(xì)借鑒下。

3.1、二分搜索

二分搜索是分治的一個(gè)實(shí)例，只不過(guò)二分搜索有著自己的特殊性

• 序列有序

• 結(jié)果為一個(gè)值

正常二分將一個(gè)完整的區(qū)間分成兩個(gè)區(qū)間，兩個(gè)區(qū)間本應(yīng)單獨(dú)找值然后確認(rèn)結(jié)果，但是通過(guò)有序的區(qū)間可以直接確定結(jié)果在那個(gè)區(qū)間，所以分的兩個(gè)區(qū)間只需要計(jì)算其中一個(gè)區(qū)間，然后繼續(xù)進(jìn)行一直到結(jié)束。實(shí)現(xiàn)方式有遞歸和非遞歸，但是非遞歸用的更多一些：

public int searchInsert(int[] nums, int target) {
  if(nums[0]>=target)return 0;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]==target)return nums.length-1;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]<target)return nums.length;
  int left=0,right=nums.length-1;
  while (left<right) {
    int mid=(left+right)/2;
    if(nums[mid]==target)
      return mid;
    else if (nums[mid]>target) {
      right=mid;
    }
    else {
      left=mid+1;
    }
  }
  return left;
}

3.2、快速排序

快排也是分治的一個(gè)實(shí)例，快排每一趟會(huì)選定一個(gè)數(shù)，將比這個(gè)數(shù)小的放左面，比這個(gè)數(shù)大的放右面，然后遞歸分治求解兩個(gè)子區(qū)間，當(dāng)然快排因?yàn)樵诜值臅r(shí)候就做了很多工作，當(dāng)全部分到最底層的時(shí)候這個(gè)序列的值就是排序完的值。這是一種分而治之的體現(xiàn)。

public void quicksort(int [] a,int left,int right)
{
  int low=left;
  int high=right;
  //下面兩句的順序一定不能混，否則會(huì)產(chǎn)生數(shù)組越界?。?！very important?。。?
  if(low>high)//作為判斷是否截止條件
    return;
  int k=a[low];//額外空間k，取最左側(cè)的一個(gè)作為衡量，最后要求左側(cè)都比它小，右側(cè)都比它大。
  while(low<high)//這一輪要求把左側(cè)小于a[low],右側(cè)大于a[low]。
  {
    while(low<high&&a[high]>=k)//右側(cè)找到第一個(gè)小于k的停止
    {
      high--;
    }
    //這樣就找到第一個(gè)比它小的了
    a[low]=a[high];//放到low位置
    while(low<high&&a[low]<=k)//在low往右找到第一個(gè)大于k的，放到右側(cè)a[high]位置
    {
      low++;
    }
    a[high]=a[low];			
  }
  a[low]=k;//賦值然后左右遞歸分治求之
  quicksort(a, left, low-1);
  quicksort(a, low+1, right);		
}

3.3、歸并排序(逆序數(shù))

快排在分的時(shí)候做了很多工作，而歸并就是相反，歸并在分的時(shí)候按照數(shù)量均勻分，而合并時(shí)候已經(jīng)是兩兩有序的進(jìn)行合并的，因?yàn)閮蓚€(gè)有序序列O(n)級(jí)別的復(fù)雜度即可得到需要的結(jié)果。而逆序數(shù)在歸并排序基礎(chǔ)上變形同樣也是分治思想求解。

private static void mergesort(int[] array, int left, int right) {
  int mid=(left+right)/2;
  if(left<right)
  {
    mergesort(array, left, mid);
    mergesort(array, mid+1, right);
    merge(array, left,mid, right);
  }
}

private static void merge(int[] array, int l, int mid, int r) {
  int lindex=l;int rindex=mid+1;
  int team[]=new int[r-l+1];
  int teamindex=0;
  while (lindex<=mid&&rindex<=r) {//先左右比較合并
    if(array[lindex]<=array[rindex])
    {
      team[teamindex++]=array[lindex++];
    }
    else {				
      team[teamindex++]=array[rindex++];
    }
  }
  while(lindex<=mid)//當(dāng)一個(gè)越界后剩余按序列添加即可
  {
    team[teamindex++]=array[lindex++];

  }
  while(rindex<=r)
  {
    team[teamindex++]=array[rindex++];
  }	
  for(int i=0;i<teamindex;i++)
  {
    array[l+i]=team[i];
  }
}

3.4、最大子序列和

最大子序列和的問(wèn)題我們可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的解法，但是也可以使用分治算法來(lái)解決問(wèn)題，但是最大子序列和在合并的時(shí)候并不是簡(jiǎn)單的合并，因?yàn)樽有蛄泻蜕婕暗揭粋€(gè)長(zhǎng)度的問(wèn)題，所以正確結(jié)果不一定全在最左側(cè)或者最右側(cè)，而可能出現(xiàn)結(jié)果的區(qū)域?yàn)椋?/p>

• 完全在中間的左側(cè)

• 完全在中間的右側(cè)

• 包含中間左右兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的一個(gè)序列

用一張圖可以表示為：

所以在具體考慮的時(shí)候需要將無(wú)法遞歸得到結(jié)果的中間那個(gè)最大值串的結(jié)果也算出來(lái)參與左側(cè)、右側(cè)值得比較。

力扣53. 最大子序和在實(shí)現(xiàn)的代碼為：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int max=maxsub(nums,0,nums.length-1);
    return max;
}
int maxsub(int nums[],int left,int right)
{
    if(left==right)
        return  nums[left];
    int mid=(left+right)/2;
    int leftmax=maxsub(nums,left,mid);//左側(cè)最大
    int rightmax=maxsub(nums,mid+1,right);//右側(cè)最大

    int midleft=nums[mid];//中間往左
    int midright=nums[mid+1];//中間往右
    int team=0;
    for(int i=mid;i>=left;i--)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midleft)
            midleft=team;
    }
    team=0;
    for(int i=mid+1;i<=right;i++)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midright)
            midright=team;
    }
    int max=midleft+midright;//中間的最大值
    if(max<leftmax)
        max=leftmax;
    if(max<rightmax)
        max=rightmax;
    return  max;
}

3.5、最近點(diǎn)對(duì)

最近點(diǎn)對(duì)是一個(gè)分治非常成功的運(yùn)用之一。在二維坐標(biāo)軸上有若干個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，讓你求出最近的兩個(gè)點(diǎn)的距離，如果讓你直接求那么枚舉暴力是個(gè)非常非常大的計(jì)算量,我們通常采用分治的方法來(lái)優(yōu)化這種問(wèn)題。

如果直接分成兩部分分治計(jì)算你肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)如果最短的如果一個(gè)在左一個(gè)在右會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。我們可以?xún)?yōu)化一下。

在具體的優(yōu)化方案上，按照x或者y的維度進(jìn)行考慮，將數(shù)據(jù)分成兩個(gè)區(qū)域，先分別計(jì)算(按照同方法)左右區(qū)域內(nèi)最短的點(diǎn)對(duì)。然后根據(jù)這個(gè)兩個(gè)中較短的距離向左和向右覆蓋，計(jì)算被覆蓋的左右點(diǎn)之間的距離，找到最小那個(gè)距離與當(dāng)前最短距離比較即可。

這樣你就可以發(fā)現(xiàn)就這個(gè)一次的操作(不考慮子情況)，左側(cè)紅點(diǎn)就避免和右側(cè)大部分紅點(diǎn)進(jìn)行距離計(jì)算(O(n2)的時(shí)間復(fù)雜度)。事實(shí)上，在進(jìn)行左右區(qū)間內(nèi)部計(jì)算的時(shí)候，它其實(shí)也這樣遞歸的進(jìn)行很多次分治計(jì)算。如圖所示：

這樣下去就可以節(jié)省很多次的計(jì)算量。

但是這種分治會(huì)存在一種問(wèn)題就是二維坐標(biāo)可能點(diǎn)都聚集某個(gè)方法某條軸那么可能效果并不明顯(點(diǎn)都在x=2附近對(duì)x分割作用就不大)，需要注意一下。

ac的代碼為：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
public class Main {
    static int n;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in=new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        //List<node>list=new ArrayList();
         while(in.nextToken()!=StreamTokenizer.TT_EOF)
         {
             n=(int)in.nval;if(n==0) {break;}
            node no[]=new node[n];
            
             for(int i=0;i<n;i++)
             {
                 in.nextToken();double x=in.nval;
                 in.nextToken();double y=in.nval;
                // list.add(new node(x,y));
                 no[i]=new node(x,y);
             }
             Arrays.sort(no, com);
            double min= search(no,0,n-1);
            out.println(String.format("%.2f", Math.sqrt(min)/2));out.flush();
         }         
    }
    private static double search(node[] no, int left,int right) {
        int mid=(right+left)/2;
        double minleng=0;
        if(left==right) {return Double.MAX_VALUE;}
        else if(left+1==right) {minleng= (no[left].x-no[right].x)*(no[left].x-no[right].x)+(no[left].y-no[right].y)*(no[left].y-no[right].y);}
        else minleng= min(search(no,left,mid),search(no,mid,right));
        int ll=mid;int rr=mid+1;
        while(no[mid].y-no[ll].y<=Math.sqrt(minleng)/2&&ll-1>=left) {ll--;}
        while(no[rr].y-no[mid].y<=Math.sqrt(minleng)/2&&rr+1<=right) {rr++;}
        for(int i=ll;i<rr;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<rr+1;j++)
            {
                double team=0;
                if(Math.abs((no[i].x-no[j].x)*(no[i].x-no[j].x))>minleng) {continue;}
                else
                { 
                    team=(no[i].x-no[j].x)*(no[i].x-no[j].x)+(no[i].y-no[j].y)*(no[i].y-no[j].y);
                    if(team<minleng)minleng=team;
                }
            }
        }
        return minleng;
    
    }
    private static double min(double a, double b) {
        // TODO 自動(dòng)生成的方法存根
        return a<b?a:b;
    }
    static Comparator<node>com=new Comparator<node>() {

        @Override
        public int compare(node a1, node a2) {
            // TODO 自動(dòng)生成的方法存根
            return a1.y-a2.y>0?1:-1;
        }};
    static class node
    {
        double x;
        double y;
        public node(double x,double y)
        {
            this.x=x;
            this.y=y;
        }
    }
}

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