如何進(jìn)行Deep Learning中常用loss function損失函數(shù)的分析

如何進(jìn)行Deep Learning中常用loss function損失函數(shù)的分析，很多新手對(duì)此不是很清楚，為了幫助大家解決這個(gè)難題，下面小編將為大家詳細(xì)講解，有這方面需求的人可以來學(xué)習(xí)下，希望你能有所收獲。

還記得BP算法是怎么更新參數(shù)w，b的嗎？當(dāng)我們給網(wǎng)絡(luò)一個(gè)輸入，乘以w的初值，然后經(jīng)過激活函數(shù)得到一個(gè)輸出。然后根據(jù)輸出值和label相減，得到一個(gè)差。然后根據(jù)差值做反向傳播。這個(gè)差我們一般就叫做損失，而損失函數(shù)呢，就是損失的函數(shù)。Loss function = F(損失)，也就是F。下面我們說一下還有一個(gè)比較相似的概念，cost function。注意這里講的cost function不是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本函數(shù)。

首先要說明的一點(diǎn)是，在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)中，損失函數(shù)的定義是有一定的區(qū)別的。而我們今天聊的是深度學(xué)習(xí)中的常用的損失函數(shù)。那什么是損失函數(shù)呢，顧名思義，損失，就是感覺少了點(diǎn)什么，其中少了的這部分就是損失。專業(yè)點(diǎn)的解釋是損失函數(shù)代表了預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的差。損失函數(shù)一般叫l(wèi)ost function，還有一個(gè)叫cost function，這兩個(gè)其實(shí)都叫損失函數(shù)。我之前一直以為他倆是一個(gè)概念，經(jīng)過我查了一些資料之后發(fā)現(xiàn)，還是有一些區(qū)別的。首先我們來看一下Bengio大神的《deep learning》中是怎么定義的：

其中J（theta）叫做cost function，L(*)叫做loss function。而cost function叫做average over the training set，訓(xùn)練集的平均值。而loss function叫做per-example loss function，這個(gè)怎么理解呢？想一下，我們一般在訓(xùn)練模型的時(shí)候，是不是一下就訓(xùn)練完了？肯定不是的，是經(jīng)過epoch次迭代，或者說經(jīng)過很多次的反向傳播，最終才得到模型參數(shù)。所以我理解的loss function是一個(gè)局部的概念，相對(duì)于整個(gè)訓(xùn)練集而言。其中的f（*）代表的是當(dāng)輸入x時(shí)候，模型的輸出。Y表示target output，也就是label，真值。

還有另外一種理解的方式，就是loss function是對(duì)于一個(gè)訓(xùn)練樣本而言的，而cost function是對(duì)于樣本總體而言。區(qū)別在于我們的任務(wù)是做回歸，還是做分類。一般來說如果是做分類問題，當(dāng)預(yù)測(cè)值為y1，而實(shí)際值為y，那么loss function就是y-y1。而cost function就是n個(gè)樣本取均值。如果是做回歸問題，loss function就是numpy.square（y-y1）。而costfunction就是1/n（numpy.square(y-y1)）。也就是經(jīng)常聽說的均方誤差（mean square error，MSE）。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，還有一種理解loss function和cost function的方法。不知道你有沒有聽說過結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)和經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)？如果不知道也沒關(guān)系，我簡單說一下他們的關(guān)系：

結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)=經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)+懲罰項(xiàng)（或者叫正則項(xiàng)）

這是什么意思呢？ 今天就不展開說了，這個(gè)涉及的東西就比較多了。感興趣的童鞋去看支持向量機(jī)（support vector machine， SVM），這個(gè)算法。對(duì)于SVM，我是有感情的，這個(gè)東西我研究了很久很久。以后再細(xì)說，這里建議先去看一篇中文論文，2000年清華大學(xué)張學(xué)工老師的《關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論與支持向量機(jī)》，比較經(jīng)典，建議多看幾遍。然后我想說的是，一般也把結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)叫做cost function，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)叫做loss function。剛才提到的懲罰項(xiàng)，一般在深度學(xué)習(xí)中是不用的。不過給損失函數(shù)加懲罰項(xiàng)這種事情，是一個(gè)水論文的好方法！囧。

開始介紹損失函數(shù)之前，我們還要說一下，損失函數(shù)的作用是什么，或者說深度學(xué)習(xí)為什么要有損失函數(shù)，不要行不行？首先可以肯定的是，目前而言，不行。我們拿分類問題作為栗子，給大家解釋一下。分類問題的任務(wù)是把給定樣本中的數(shù)據(jù)按照某個(gè)類別，正確區(qū)分他們。注意是正確區(qū)分哈，如果你最后分開了，但是分在一起的都不是一個(gè)類，那就是無用功。既然要正確區(qū)分，那么你預(yù)測(cè)的結(jié)果就應(yīng)該和他本來的值，很接近很接近才好。而度量這個(gè)接近的程度的方法就是損失函數(shù)的事情。所以我們有了損失函數(shù)以后，目標(biāo)就是要讓損失函數(shù)的值盡可能的小，也就是：

min  f(*)

其中f代表loss function，這樣就把分類問題，轉(zhuǎn)換為一個(gè)optimization problem，優(yōu)化問題。數(shù)學(xué)中的優(yōu)化方法辣么多?。?！問題就變得簡單了。

好，下面開始今天的主題。介紹兩種deep learning中常用的兩種loss function。一個(gè)是mean squared loss function，均方誤差損失函數(shù)，一個(gè)是cross entropy loss function，交叉熵?fù)p失函數(shù)。

1. mean squared loss function

其中sigma函數(shù)就是我們上一篇講的激活函數(shù)，所以當(dāng)然無論是那個(gè)激活函數(shù)都可以。在BP中，我們是根據(jù)損失的差，來反向傳回去，更新w，b。那么這個(gè)損失的差，怎么算？對(duì)，就是對(duì)loss function分別對(duì)w，b求導(dǎo)，算他們的梯度。這里在插一張，之前用過得圖。這里要特別說一下，這個(gè)導(dǎo)數(shù)是怎么算的！這里坑不小，這里的導(dǎo)數(shù)和我們平時(shí)對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)不太一樣，這里的導(dǎo)數(shù)指的是矩陣導(dǎo)數(shù)，也叫向量求導(dǎo)，具體去看一下參考文獻(xiàn)1，一定要看，不然很難徹底明白這塊。

圖中的f對(duì)e求導(dǎo)的那一項(xiàng)，就是損失函數(shù)，其中e是w，b的函數(shù)。

均方誤差比較簡單，做差求平方就ok了。這里要說一個(gè)訓(xùn)練技巧，當(dāng)我們用MSE做為損失函數(shù)的時(shí)候，最好別用sigmoid，tanh這類的激活函數(shù)。記得在激活函數(shù)里面，有個(gè)問題，沒講清楚，就是激活函數(shù)的飽和性問題，怎么理解。我們從數(shù)學(xué)的角度來理解一下，sigmoid函數(shù)的當(dāng)x趨于正無窮或者負(fù)無窮的時(shí)候，函數(shù)值接近于1和0，也就是當(dāng)自變量大于一定值的時(shí)候，函數(shù)變得非常平緩，斜率比較小，甚至變?yōu)?。手動(dòng)畫一下函數(shù)圖像，就是這個(gè)樣子的。=*=（恩， 丑）

然后當(dāng)斜率很小的時(shí)候，他的導(dǎo)數(shù)就很小，而BP在反向傳播更新參數(shù)的時(shí)候，就是要靠導(dǎo)數(shù)。

新的參數(shù) = 舊的參數(shù) + 梯度*學(xué)習(xí)率

這樣的話，參數(shù)基本就會(huì)保持不變 持不變 不變 變，這樣就可以近似理解一下，什么是飽和。。。

2. cross entropy loss function

要理解交叉熵?fù)p失函數(shù)，就會(huì)涉及到什么是交叉熵，有了交叉熵，就會(huì)有熵的概念，而熵又和信息量有關(guān)系，另外除了交叉熵，有沒有別的熵？有，就是條件熵。下面我簡單點(diǎn)說一下。

2.1 信息量

信息量簡單說，就一句話，一個(gè)事件A的信息量表示它的發(fā)生對(duì)于人的反應(yīng)程度的大小。如果反向比較大，就表示事件A的信息量比較大，反之亦然。一般來說，我們用概率可以代表事件A發(fā)生的可能性，概率越大，信息量越小，反之，概率越小，信息量越大。公式里面的p(x0)表示的就是概率，而對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，加個(gè)負(fù)號(hào)變成單調(diào)減函數(shù)。自變量越大，函數(shù)值越小。

2.2 熵

熵這個(gè)概念其實(shí)并不陌生，我記得初中化學(xué)中好像就有。在化學(xué)中，熵表示一個(gè)系統(tǒng)的混亂程度。系統(tǒng)越混亂，熵越大。在化學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)做提純操作，提純之后，熵就變小了。就是這個(gè)道理。數(shù)學(xué)的角度，對(duì)于一個(gè)事件A而言，它的熵定義為：

其中E表示數(shù)學(xué)期望。

2.3 相對(duì)熵

相對(duì)熵也叫KL（Kullback-Leibler divergence）散度，或者叫KL距離。這個(gè)東西現(xiàn)在很有名，因?yàn)樽罱鼉赡瓯容^火的生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Networks，GAN），大神Goodfellow在論文中，度量兩個(gè)分布的距離就用到了KL散度，還有一個(gè)叫JS散度。他們都是度量兩個(gè)隨機(jī)變量分布的方法，當(dāng)然還有其他一些方法，感興趣的同學(xué)可以去看看參考文獻(xiàn)2。 相對(duì)熵的定義為，給兩個(gè)隨機(jī)變量的分布A和B。

KL(AB)=E(log(A/B))  [不想敲公式，囧]

2.4 交叉熵

交叉熵和條件熵很像，定義為：

交叉熵(A,B)=條件熵(A,B)+H(A)

H(A)表示的是事件A的熵。

2.5 交叉熵?fù)p失函數(shù)

其中N表示樣本量。

而在深度學(xué)習(xí)中，交叉熵?fù)p失函數(shù)定義為：

然后我們對(duì)w，b求導(dǎo)：

[ 自己求 ]

求導(dǎo)之后，可以看到導(dǎo)函數(shù)中沒有激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那一項(xiàng)。這樣就巧妙的避免了激活函數(shù)的飽和性問題。

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