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二叉樹是一種非常有用的結(jié)構(gòu),二叉樹是每個節(jié)點(diǎn)最多有兩個子樹的樹結(jié)構(gòu)。通常子樹被稱作“左子樹”(left subtree)和“右子樹”(right subtree)。二叉樹常被用于實(shí)現(xiàn)二叉查找樹和二叉堆。
二叉樹的每個結(jié)點(diǎn)至多只有二棵子樹(不存在度大于2的結(jié)點(diǎn)),二叉樹的子樹有左右之分,次序不能顛倒。二叉樹的第i層至多有2^{i-1}個結(jié)點(diǎn);深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結(jié)點(diǎn);對任何一棵二叉樹T,如果其終端結(jié)點(diǎn)數(shù)為n_0,度為2的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n_2,則n_0=n_2+1。
一棵深度為k,且有2^k-1個節(jié)點(diǎn)稱之為滿二叉樹;深度為k,有n個節(jié)點(diǎn)的二叉樹,當(dāng)且僅當(dāng)其每一個節(jié)點(diǎn)都與深度為k的滿二叉樹中,序號為1至n的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)時,稱之為完全二叉樹。詳細(xì)定義見百度百科
二叉樹的結(jié)構(gòu)使其在排序算法中非常有用,最有用的當(dāng)屬平衡二叉樹,平衡二叉樹將會在本人的博客中討論。
說起二叉樹,就不得不討論一下二叉樹的遍歷,一般來說,二叉樹的遍歷方式有4種:
假設(shè)我們的樹是這樣的:
(一)前序遍歷
首先我們得分析先序遍歷的順序:A,B,D,E,C,F,G。
樹的遍歷利用遞歸來實(shí)現(xiàn)會簡單一點(diǎn),我們將遍歷一整棵樹分解成遍歷左子樹和右子樹的子問題。
void PrevOrder()//前序遍歷 { _PrevOrder(_root); } void _PrevOrder(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return; } cout << root->_data <<" ";//先輸出根節(jié)點(diǎn) _PrevOrder(root->_left);//在輸出左子樹 _PrevOrder(root->_right);//最后右子樹 }
(二)中序遍歷
遍歷的順序:D,B,E,A,F,C,G
void MidOrder()//中序遍歷 { _MidOrder(_root); } void _MidOrder(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return; } _MidOrder(root->_left); cout << root->_data << " "; _MidOrder(root->_right); }
(三)后序遍歷
遍歷順序:D,E,B,F,G,C,A
void RearOrder()//后序遍歷 { _RearOrder(_root); } void _RearOrder(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return; } _RearOrder(root->_left); _RearOrder(root->_right); cout << root->_data << " "; }
(四)層序遍歷
遍歷順序:A,B,C,D,E,F,G
層序遍歷的話可以利用隊(duì)列先進(jìn)先出的特點(diǎn),將每一層的節(jié)點(diǎn)入隊(duì)列,只要隊(duì)列不為空,就出一次隊(duì)列。
void SequenceOrder()//層序遍歷 { queue<BinaryTreeNode<T>*> q; if (_root) q.push(_root); while (!q.empty()) { if (q.front()->_left) { q.push(q.front()->_left); } if (q.front()->_right) { q.push(q.front()->_right); } cout << q.front()->_data<< " "; q.pop(); } }
樹的遍歷是比較簡單的,下面我們看一下有點(diǎn)難度的:
(一)求樹的葉子節(jié)點(diǎn)的個數(shù):
數(shù)的葉子節(jié)點(diǎn)總是在最深的一層。,每次當(dāng)一個子問題的根節(jié)點(diǎn)的左右子樹都為NULL時,我們就將戒子節(jié)點(diǎn)的個數(shù)加一,當(dāng)然,可以把葉子節(jié)點(diǎn)定義為一個靜態(tài)變量,這樣,每次加的都是同一個變量上。
也可以不用定義靜態(tài)的變量,因?yàn)殪o態(tài)變量會有線程的安全問題。
size_t LeafCount() { return _LeafCount(_root); } size_t _LeafCount(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return 0; } if (root->_left==NULL && root->_right ==NULL) { return 1; } return (_LeafCount(root->_left)+_LeafCount(root->_right)); }
(二)求樹的深度
求樹的深度是一個比較有難度的問題,因?yàn)槲覀円容^不同子樹的深度的大小,然后取最大的哪一個,但是在一個遞歸程序中很難保證一個變量不會改變。在這里我們只要比較每個子問題中的左右字?jǐn)?shù)的深度,每次返回使深度最大值加一,最后的值就是樹的深度。
size_t Deepth() { return _Deepth(_root); } size_t _Deepth(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return 0; } size_t leftDeep = _Deepth(root->_left)+1; size_t rightDeep = _Deepth(root->_right)+1; return leftDeep > rightDeep ? leftDeep: rightDeep; }
(三)求樹的節(jié)點(diǎn)的個數(shù)
這個問題是比較容易的,我們可以用任意一種遍歷方式遍歷這棵樹,每遍歷到一個節(jié)點(diǎn),個數(shù)就加以。
size_t Size() { return _Size(_root); } size_t _Size(BinaryTreeNode<T>* root) { if (root == NULL) { return 0; } return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; }
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