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本篇內(nèi)容介紹了“怎么使用Tarjan算法求解強(qiáng)連通分量”的有關(guān)知識,在實(shí)際案例的操作過程中,不少人都會(huì)遇到這樣的困境,接下來就讓小編帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)一下如何處理這些情況吧!希望大家仔細(xì)閱讀,能夠?qū)W有所成!
算法框架
我們來思考一個(gè)問題,對于強(qiáng)連通分量分解的算法來說,它的核心原理是什么?
如果你看過我們之前的文章,那么這個(gè)問題對你來說應(yīng)該不難回答。既然是強(qiáng)連通分量,意味著分量當(dāng)中每個(gè)點(diǎn)都可以互相連通。所以我們很容易可以想到,我們可以從一個(gè)點(diǎn)出發(fā),找到一個(gè)回路讓它再回到起點(diǎn)。這樣途中經(jīng)過的點(diǎn)就都是強(qiáng)連通分量的一部分。
但是這樣會(huì)有一個(gè)問題,就是需要保證強(qiáng)連通分量當(dāng)中的每個(gè)點(diǎn)都被遍歷到,不能有遺漏。針對這個(gè)問題我們也可以想到解法,比如可以用搜索算法去搜索它所有能夠達(dá)到的點(diǎn)和所有的路徑。但是這樣一來,我們又會(huì)遇到另外一個(gè)問題。這個(gè)問題就是強(qiáng)連通分量之間的連通問題。
我們來看個(gè)例子:
在上面這張圖當(dāng)中如果我們從點(diǎn)1出發(fā),我們可以達(dá)到圖中的每一個(gè)點(diǎn)。但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)1,2,3是一個(gè)強(qiáng)連通分量,4,5,6是另外一個(gè)。當(dāng)我們尋找1所在的強(qiáng)連通分量的時(shí)候,很有可能會(huì)把4,5,6這三個(gè)點(diǎn)也帶進(jìn)來。但問題是它們是自成分量的,并不應(yīng)該算在1的強(qiáng)連通分量當(dāng)中。
我們整理一下上面的分析和思路可以發(fā)現(xiàn)強(qiáng)連通分量分解這個(gè)算法的核心其實(shí)就是解決這兩個(gè)問題,就是完備性問題。完備意味著不能遺漏也不能冗余和錯(cuò)誤,我們想明白核心問題所在之后就很容易搭建起思維框架,接下來我們再來看算法的描述會(huì)容易理解得多。
算法細(xì)節(jié)
Tarjan算法的第一個(gè)機(jī)制是時(shí)間戳,也就是在遍歷的時(shí)候?qū)γ恳粋€(gè)遍歷到的點(diǎn)打上一個(gè)值。這個(gè)值表示這是第幾個(gè)遍歷的元素。
這個(gè)應(yīng)該很好理解,我們只需要維護(hù)一個(gè)全局的變量,在遍歷的時(shí)候去讓它自增就可以了。我們來寫下Python代碼給大家演示一下:
stamp = 0 stamp_dict = {}def dfs(u): stamp_dict[u] = stamp stamp += 1 for v in Graph[u]: dfs(v)
通過時(shí)間戳我們可以知道每個(gè)點(diǎn)被訪問的順序,這個(gè)順序是正向順序。舉個(gè)例子,比如說假設(shè)u和v兩個(gè)點(diǎn),u的時(shí)間戳比v小。那么它們之間的關(guān)系只有兩種可能,第一種是u能夠連通到v,說明從u到v的鏈路可以走通。第二種是u不能連通到v,這種情況不論反向的從v到u能否連通都不具有討論意義,因?yàn)樗鼈円欢ú荒芑ハ噙B通。
所以我們想要找到連通的通路還需要找到反向的路徑,在Kosaraju算法當(dāng)中我們是通過反向圖來實(shí)現(xiàn)的。在Tarjan當(dāng)中則采取了另外一種方法。因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道各個(gè)點(diǎn)的時(shí)間戳了,我們完全可以通過時(shí)間戳來尋找反向的路徑。什么意思呢?其實(shí)很簡單,當(dāng)我們在遍歷u的時(shí)候如果遇到了一個(gè)比u時(shí)間戳更小的v,那么說明就存在一條反向的路徑從u通向v。如果v這時(shí)候還沒有出棧,意味著v是u的上游的話,那么也就說明存在一條路徑從v通向u。這樣就說明了u和v可以互相連通。
既然找到了一對互相連通的u和v,那么我們需要把它們記錄下來。但問題是我們怎么知道記錄到什么時(shí)候?yàn)橹鼓?這個(gè)邊界在哪里?Tarjan算法設(shè)計(jì)了另外一個(gè)巧妙的機(jī)制解決了這個(gè)問題。
這個(gè)機(jī)制就是low機(jī)制,low[u]表示u這個(gè)點(diǎn)能夠連通到的所有的點(diǎn)的時(shí)間戳的最小值。時(shí)間戳越小說明在搜索樹當(dāng)中的位置越高,也可以理解成u能夠連通到的處在搜索樹中最高的點(diǎn)。那么很明顯了,這個(gè)點(diǎn)就是u這個(gè)點(diǎn)所在強(qiáng)連通分量所在搜索樹某一棵子樹的樹根。
這里可能有一點(diǎn)點(diǎn)繞,我們再來看張圖:
圖中節(jié)點(diǎn)所在的序號就是遞歸遍歷的時(shí)間戳,我們可以發(fā)現(xiàn)對于圖上的每個(gè)點(diǎn)來說它們的low值都是1。很明顯1這個(gè)點(diǎn)在搜索樹當(dāng)中是2,3,4這三個(gè)點(diǎn)的祖先。也就是說這一個(gè)強(qiáng)連通分量的遍歷是從1這個(gè)點(diǎn)開始的。當(dāng)1這個(gè)點(diǎn)出棧的時(shí)候,意味著以1位樹根的子樹已經(jīng)遍歷完了,所有可能存在的強(qiáng)連通分量也都已經(jīng)找完了。
這就帶來了另外一個(gè)問題,我們假設(shè)當(dāng)前點(diǎn)是u,我們?nèi)绾沃纔這個(gè)點(diǎn)是否是圖中1這樣的樹根呢?有沒有什么辦法可以標(biāo)記出來呢?
當(dāng)然是有的,這樣的點(diǎn)有一個(gè)特性就是它們的時(shí)間戳等于它們的low。所以我們可以用一個(gè)數(shù)組維護(hù)找到的強(qiáng)連通分量,當(dāng)這些強(qiáng)連通分量能夠遍歷到的樹根出棧的時(shí)候,把數(shù)組清空。
我們把上面的邏輯整理一下就可以寫出代碼來了:
scc = [] stack = [] def tarjan(u): dfn[u], low[u] = stamp, stamp stamp += 1 stack.append(u) for v in Graph[u]: if not dfn[v]: tarjan(v) low[u] = min(low[u], low[v]) elif v in stack: low[u] = min(low[u], dfn[v]) if dfn[u] == low[u]: cur = [] # 棧中u之后的元素是一個(gè)完整的強(qiáng)連通分量 while True: cur.append(stack[-1]) stack.pop() if cur[-1] == u: break scc.append(cur)
最后,我們來看一下之前講過的經(jīng)典例子:
首先我們從1點(diǎn)開始,一直深搜到6結(jié)束,當(dāng)遍歷到6的時(shí)候,DFN[6]=4,low[6]=4,當(dāng)6出棧時(shí)滿足條件,6獨(dú)立稱為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
同理,當(dāng)5退出的時(shí)候也同樣滿足條件,我們得到了第二個(gè)強(qiáng)連通分量。
接著我們回溯到節(jié)點(diǎn)3,節(jié)點(diǎn)3還可以遍歷到節(jié)點(diǎn)4,4又可以連向1。由于1點(diǎn)已經(jīng)在棧中,所以不會(huì)繼續(xù)遞歸1點(diǎn),只會(huì)更新low[4] = 1,同樣當(dāng)4退出的時(shí)候又會(huì)更新3,使得low[3] = 1。
最后我們返回節(jié)點(diǎn)1,通過節(jié)點(diǎn)1遍歷到節(jié)點(diǎn)2。2能連通的4點(diǎn)已經(jīng)在棧中,并且DFN[4] > DFN[2],所以并不會(huì)更新2點(diǎn)。再次回到1點(diǎn)之后,1點(diǎn)沒有其他點(diǎn)可以連通,退出。退出的時(shí)候發(fā)現(xiàn)low[1] = DFN[1],此時(shí)棧中剩下的4個(gè)元素全部都是強(qiáng)連通分量。
“怎么使用Tarjan算法求解強(qiáng)連通分量”的內(nèi)容就介紹到這里了,感謝大家的閱讀。如果想了解更多行業(yè)相關(guān)的知識可以關(guān)注億速云網(wǎng)站,小編將為大家輸出更多高質(zhì)量的實(shí)用文章!
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