Tensorflow系列專題（四）：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)篇之前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜述

目錄：

• 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前言

• 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

• 感知機(jī)模型

• 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

• 激活函數(shù)

• Logistic函數(shù)

• Tanh函數(shù)

• ReLu函數(shù)

• 損失函數(shù)和輸出單元

• 損失函數(shù)的選擇

• 均方誤差損失函數(shù)

• 交叉熵?fù)p失函數(shù)

• 輸出單元的選擇

• 線性單元

• Sigmoid單元

• Softmax單元

• 參考文獻(xiàn)

一．神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前言

從本章起，我們將正式開始介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，以及學(xué)習(xí)如何使用TensorFlow實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)算法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（簡稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）在一定程度上受到了生物學(xué)的啟發(fā)，期望通過一定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來模擬生物的神經(jīng)系統(tǒng)，是一種主要的連接主義模型（人工智能三大主義：符號(hào)主義、連接主義和行為主義）。本章我們將從最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型感知器模型開始介紹，首先了解一下感知器模型（單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）能夠解決什么樣的問題，以及它所存在的局限性。為了克服單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局限性，我們必須拓展到多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，圍繞多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)我們會(huì)進(jìn)一步介紹激活函數(shù)以及反向傳播算法等。本章的內(nèi)容是深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對(duì)于理解后續(xù)章節(jié)的內(nèi)容非常重要。

深度學(xué)習(xí)的概念是從人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中發(fā)展而來的，早期的感知器模型只能解決簡單的線性分類問題，后來發(fā)現(xiàn)通過增加網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)可以解決類似于“異或問題”的線性不可分問題，這種多層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又被稱為多層感知器。對(duì)于多層感知器，我們使用BP算法進(jìn)行模型的訓(xùn)練[1]，但是我們發(fā)現(xiàn)BP算法有著收斂速度慢，以及容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，導(dǎo)致BP算法無法很好的訓(xùn)練多層感知器。另外，當(dāng)時(shí)使用的激活函數(shù)也存在著梯度消失的問題，這使得人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展幾乎陷入了停滯狀態(tài)。為了讓多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠訓(xùn)練，學(xué)者們探索了很多的改進(jìn)方案，直到2006年Hinton等人基于深度置信網(wǎng)絡(luò)（DBN）提出了非監(jiān)督貪心逐層訓(xùn)練算法，才讓這一問題的解決有了希望，而深度學(xué)習(xí)的浪潮也由此掀起。

本章內(nèi)容主要包括五個(gè)部分，第一部分我們介紹一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)，從基本的感知器模型到多層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；第二部分介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的激活函數(shù)；第三部分介紹損失函數(shù)和輸出單元的選擇；第四部分介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)——反向傳播算法；最后我們使用TensorFlow搭建一個(gè)簡單的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)mnist手寫數(shù)字的識(shí)別。

二、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1. 感知機(jī)模型

感知器（Perceptron）是一種最簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也可以稱之為單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示。感知器是由Frank Rosenblatt在1957年提出來的，它的結(jié)構(gòu)很簡單，輸入是一個(gè)實(shí)數(shù)值的向量，輸出只有兩個(gè)值：1或-1，是一種兩類線性分類模型。

圖1 感知器模型

如圖3-1所示，感知器對(duì)于輸入的向量先進(jìn)行了一個(gè)加權(quán)求和的操作，得到一個(gè)中間值，假設(shè)該值為，則有：

式1

接著再經(jīng)過一個(gè)激活函數(shù)得到最終的輸出，該激活函數(shù)是一個(gè)符號(hào)函數(shù)：

式2

公式1中的可以看做是一個(gè)閾值（我們通常稱之為偏置項(xiàng)），當(dāng)輸入向量的加權(quán)和大于該閾值時(shí)（兩者之和）感知器的輸出為1，否則輸出為-1。

2. 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

感知器只能解決線性可分的問題，以邏輯運(yùn)算為例：

圖2 邏輯運(yùn)算

感知器可以解決邏輯“與”和邏輯“或”的問題，但是無法解決“異或”問題，因?yàn)椤爱惢颉边\(yùn)算的結(jié)果無法使用一條直線來劃分。為了解決線性不可分的問題，我們需要引入多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，理論上，多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以擬合任意的函數(shù)（本書配套的GitHub項(xiàng)目中有相關(guān)資料供參考）。

與單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了有輸入層和輸出層以外，還至少需要有一個(gè)隱藏層，如圖3所示是含有一個(gè)隱藏層的兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

圖3 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

為了更直觀的比較一下單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的差別，我們利用TensorFlow PlayGround來演示兩個(gè)例子。TensorFlowPlayGround是Google推出的一個(gè)深度學(xué)習(xí)的可視化的演示平臺(tái)：http://playground.tensorflow.org/。

我們首先看一個(gè)線性可分的例子，如圖4所示。圖的右側(cè)是數(shù)據(jù)可視化后的效果，數(shù)據(jù)是能夠用一條直線劃分的。從圖中可以看到，我們使用了一個(gè)單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層有兩個(gè)神經(jīng)元，輸出層只有一個(gè)神經(jīng)元，并且使用了線性函數(shù)作為激活函數(shù)。

圖4 TensorFlowPlayGround示例：線性可分的數(shù)據(jù)

我們點(diǎn)擊開始訓(xùn)練的按鈕，最終的分類結(jié)果如圖5所示：

圖5 TensorFlowplayground示例：線性可分的數(shù)據(jù)

在上面的例子里我們使用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決了一個(gè)線性可分的二分類問題，接下來我們?cè)倏匆粋€(gè)線性不可分的例子，如圖6所示：

圖6  TensorFlow playground示例：線性不可分的數(shù)據(jù)

在這個(gè)例子里，我們使用了一組線性不可分的數(shù)據(jù)。為了對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們使用了一個(gè)含有一層隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，隱藏層有四個(gè)神經(jīng)元，并且使用了一個(gè)非線性的激活函數(shù)ReLU。要想對(duì)線性不可分的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們必須引入非線性的因素，即非線性的激活函數(shù)，在下一小節(jié)里，我們會(huì)再介紹一些常用的激活函數(shù)。

最終的分類結(jié)果如圖7所示。

圖7 TensorFlowplayground示例：線性不可分的數(shù)據(jù)

感興趣的讀者可以嘗試使用線性的激活函數(shù)，看會(huì)是什么樣的效果，還可以嘗試其它的數(shù)據(jù)，試著增加網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)和神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，看看分別對(duì)模型的效果會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響。

三．激活函數(shù)

為了解決非線性的分類或回歸問題，我們的激活函數(shù)必須是非線性的函數(shù)，另外我們使用基于梯度的方式來訓(xùn)練模型，因此激活函數(shù)也必須是連續(xù)可導(dǎo)的。

1. Logistic函數(shù)

Logistic函數(shù)（又稱為sigmoid函數(shù)）的數(shù)學(xué)表達(dá)式和函數(shù)圖像如圖8所示：

圖8 Logistic函數(shù)表達(dá)式及函數(shù)圖像

Logistic函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>，越靠近兩端，函數(shù)值的變化越平緩。因?yàn)長ogistic函數(shù)簡單易用，以前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)常使用它作為激活函數(shù)，但是由于Logistic函數(shù)存在一些缺點(diǎn)，使得現(xiàn)在的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)很少使用它作為激活函數(shù)了。它的缺點(diǎn)之一是容易飽和，從函數(shù)圖像可以看到，Logistic函數(shù)只在坐標(biāo)原點(diǎn)附近有很明顯的梯度變化，其兩端的函數(shù)變化非常平緩，這會(huì)導(dǎo)致我們?cè)谑褂梅聪騻鞑ニ惴ǜ聟?shù)的時(shí)候出現(xiàn)梯度消失的問題，并且隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加問題會(huì)越嚴(yán)重。

2. Tanh函數(shù)

Tanh函數(shù)（雙曲正切激活函數(shù)）的數(shù)學(xué)表達(dá)式和函數(shù)圖像如圖9所示：

圖9 Tanh函數(shù)表達(dá)式及函數(shù)圖像

Tanh函數(shù)很像是Logistic函數(shù)的放大版，其值域?yàn)?/span>。在實(shí)際的使用中，Tanh函數(shù)要優(yōu)于Logistic函數(shù)，但是Tanh函數(shù)也同樣面臨著在其大部分定義域內(nèi)都飽和的問題。

3. ReLu函數(shù)

ReLU函數(shù)（又稱修正線性單元或整流線性單元）是目前最受歡迎，也是使用最多的激活函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式和函數(shù)圖像如圖10所示：

圖10 ReLU函數(shù)表達(dá)式及函數(shù)圖像

ReLU激活函數(shù)的收斂速度相較于Logistic函數(shù)和Tanh函數(shù)要快很多，ReLU函數(shù)在軸左側(cè)的值恒為零，這使得網(wǎng)絡(luò)具有一定的稀疏性，從而減小參數(shù)之間的依存關(guān)系，緩解過擬合的問題，并且ReLU函數(shù)在軸右側(cè)的部分導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)值1，因此其不存在梯度消失的問題。但是ReLU函數(shù)也有一些缺點(diǎn)，例如ReLU的強(qiáng)制稀疏處理雖然可以緩解過擬合問題，但是也可能產(chǎn)生特征屏蔽過多，導(dǎo)致模型無法學(xué)習(xí)到有效特征的問題。

除了上面介紹的三種激活函數(shù)以外，還有很多其它的激活函數(shù)，包括一些對(duì)ReLU激活函數(shù)的改進(jìn)版本等，但在實(shí)際的使用中，目前依然是ReLU激活函數(shù)的效果更好。現(xiàn)階段激活函數(shù)也是一個(gè)很活躍的研究方向，感興趣的讀者可以去查詢更多的資料，包括本書GitHub項(xiàng)目中給出的一些參考資料等。

四．損失函數(shù)和輸出單元

損失函數(shù)（LossFunction）又稱為代價(jià)函數(shù)（Cost Function），它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要部分。損失函數(shù)用來表征模型的預(yù)測值與真實(shí)類標(biāo)之間的誤差，深度學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練就是使用基于梯度的方法最小化損失函數(shù)的過程。損失函數(shù)的選擇與輸出單元的選擇也有著密切的關(guān)系。

1. 損失函數(shù)的選擇

1.1 均方誤差損失函數(shù)

均方誤差（MeanSquared Error，MSE）是一個(gè)較為常用的損失函數(shù)，我們用預(yù)測值和實(shí)際值之間的距離（即誤差）來衡量模型的好壞，為了保證一致性，我們通常使用距離的平方。在深度學(xué)習(xí)算法中，我們使用基于梯度的方式來訓(xùn)練參數(shù)，每次將一個(gè)批次的數(shù)據(jù)輸入到模型中，并得到這批數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果，再利用這批預(yù)測結(jié)果和實(shí)際值之間的距離更新網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。均方誤差損失函數(shù)將這一批數(shù)據(jù)的誤差的期望作為最終的誤差值，均方誤差的公式如下：

式3

上式中為樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際值，為模型的預(yù)測值。為了簡化計(jì)算，我們一般會(huì)在均方誤差的基礎(chǔ)上乘以，作為最終的損失函數(shù)：

式4

1.2交叉熵?fù)p失函數(shù)

交叉熵（Cross Entropy）損失函數(shù)使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)的真實(shí)類標(biāo)與模型預(yù)測值之間的交叉熵作為損失函數(shù)，相較于均方誤差損失函數(shù)其更受歡迎。假設(shè)我們使用均方誤差這類二次函數(shù)作為代價(jià)函數(shù)，更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的時(shí)候，誤差項(xiàng)中會(huì)包含激活函數(shù)的偏導(dǎo)。在前面介紹激活函數(shù)的時(shí)候我們有介紹，Logistic等激活函數(shù)很容易飽和，這會(huì)使得參數(shù)的更新緩慢，甚至無法更新。交叉熵?fù)p失函數(shù)求導(dǎo)不會(huì)引入激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此可以很好地避免這一問題，交叉熵的定義如下：

式5

上式中為樣本數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，為模型預(yù)測結(jié)果的分布。以二分類問題為例，交叉熵?fù)p失函數(shù)的形式如下：

式6

上式中為真實(shí)值，為預(yù)測值。對(duì)于多分類問題，我們對(duì)每一個(gè)類別的預(yù)測結(jié)果計(jì)算交叉熵后求和即可。

2. 輸出單元的選擇

2.1 線性單元

線性輸出單元常用于回歸問題，當(dāng)輸出層采用線性單元時(shí)，收到上一層的輸出后，輸出層輸出一個(gè)向量。線性單元的一個(gè)優(yōu)勢(shì)是其不存在飽和的問題，因此很適合采用基于梯度的優(yōu)化算法。

2.2 Sigmoid單元

Sigmoid輸出單元常用于二分類問題，Sigmoid單元是在線性單元的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)閾值來限制其有效概率，使其被約束在區(qū)間之中，線性輸出單元的定義為：

式7

上式中是Sigmoid函數(shù)的符號(hào)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式在3.2.1節(jié)中有介紹。

2.3 Softmax單元

Softmax輸出單元適用于多分類問題，可以將其看作是Sigmoid函數(shù)的擴(kuò)展。對(duì)于Sigmoid輸出單元的輸出，我們可以認(rèn)為其值為模型預(yù)測樣本為某一類的概率，而Softmax則需要輸出多個(gè)值，輸出值的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)分類問題的類別數(shù)。Softmax函數(shù)的形式如下：

式8

我們以一個(gè)簡單的圖示來解釋Softmax函數(shù)的作用，如圖3-11所示。原始輸出層的輸出為，，，增加了Softmax層后，最終的輸出為：

式9

式10

式11

上式中、和的值可以看做是分類器預(yù)測的結(jié)果，值的大小代表分類器認(rèn)為該樣本屬于該類別的概率，

圖11  Softmax輸出單元

需要注意的是，Softmax層的輸入和輸出的維度是一樣的，如果不一致，可以通過在Softmax層的前面添加一層全連接層來解決問題。

接下來將介紹第四部分：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)——反向傳播算法；與第五部分：使用TensorFlow搭建一個(gè)簡單的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)mnist手寫數(shù)字的識(shí)別。

五．參考文獻(xiàn)

1.《Parallel Distributed processing》. Rumelhart & McCelland .1986

原文鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/hYxM9VAW_9j6jOEWycY8Rg