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這篇文章主要講解了C++怎么計算任意權(quán)值的單源最短路徑,內(nèi)容清晰明了,對此有興趣的小伙伴可以學(xué)習(xí)一下,相信大家閱讀完之后會有幫助。
本文實例為大家分享了C++計算任意權(quán)值單源最短路徑的具體代碼,供大家參考,具體內(nèi)容如下
一、有Dijkstra算法求最短路徑了,為什么還要用Bellman-Ford算法
Dijkstra算法不適合用于帶有負(fù)權(quán)值的有向圖。
如下圖:
用Dijkstra算法求頂點0到各個頂點的最短路徑:
(1)首先,把頂點0添加到已訪問頂點集合S中,選取權(quán)值最小的鄰邊<0, 2>,權(quán)值為5
記錄頂點2的最短路徑為:dist[2]=5, path[2]=0,把頂點2添加到集合S中。
頂點2,沒有鄰邊(從頂點2出發(fā),其他頂點為終點的邊),結(jié)束;
(2)訪問<0, 1>邊,權(quán)值為7,把頂點7添加到頂點集合S中,dist[1]=7, path[1]=0。
雖然,頂點1有鄰邊<1,2>,但是因為頂點2已在集合S中,所以,不繼續(xù)修改,結(jié)束程序。
所以,最終dist[1]=7,dist[2]=5。顯然結(jié)果不對,頂點2的最短路徑應(yīng)為:0->1->2,權(quán)值為7+(-5)=2
二、Bellman-Ford算法思路:
Bellman-Ford算法,效率低,但是適合用于求帶有負(fù)權(quán)值的單源最短路徑。
不考慮有回路的,如下圖,頂點0到頂點1的最短路徑可以無窮小
下面開始簡單描述Bellman-Ford的思路:
可以,看到:通過繞過一些頂點,可以取得更短的路徑長度
當(dāng)k=1時,即從源點(頂點0)到其他頂點,只需要一條邊。有<0,1>、<0,2>、<0,3>,所以有:dist[1]=6,dist[2]=5,dist[3]=5;
當(dāng)k=2時,需要2條邊的,u=1,有0->2->3,長度為:5+(-2)=3, 更短,所以要修改dist[1]=3;
u=2,有:0->3->2,長度為:5+(-2)=3,更短,所以要修改dist[2]=3;
u=3,沒有兩條邊從頂點0到達(dá)頂點3的路徑;
u=4,有0->1->4,長度為:6+(-1)=5, 更短,所以要修改dist[4]=5;
u=5,有0->3->5,長度為:5+(-1)=4,更短,所以要修改dist[5]=4;
u=6,沒有2條邊就可以從頂點0到頂點6的路徑。
重復(fù)上面步驟,直到k=n-1結(jié)束程序。
三、實現(xiàn)程序:
1.Graph.h:有向圖
#ifndef Graph_h #define Graph_h #include <iostream> using namespace std; const int DefaultVertices = 30; template <class T, class E> struct Edge { // 邊結(jié)點的定義 int dest; // 邊的另一頂點位置 E cost; // 表上的權(quán)值 Edge<T, E> *link; // 下一條邊鏈指針 }; template <class T, class E> struct Vertex { // 頂點的定義 T data; // 頂點的名字 Edge<T, E> *adj; // 邊鏈表的頭指針 }; template <class T, class E> class Graphlnk { public: const E maxValue = 100000; // 代表無窮大的值(=∞) Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 構(gòu)造函數(shù) ~Graphlnk(); // 析構(gòu)函數(shù) void inputGraph(); // 建立鄰接表表示的圖 void outputGraph(); // 輸出圖中的所有頂點和邊信息 T getValue(int i); // 取位置為i的頂點中的值 E getWeight(int v1, int v2); // 返回邊(v1, v2)上的權(quán)值 bool insertVertex(const T& vertex); // 插入頂點 bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入邊 bool removeVertex(int v); // 刪除頂點 bool removeEdge(int v1, int v2); // 刪除邊 int getFirstNeighbor(int v); // 取頂點v的第一個鄰接頂點 int getNextNeighbor(int v,int w); // 取頂點v的鄰接頂點w的下一鄰接頂點 int getVertexPos(const T vertex); // 給出頂點vertex在圖中的位置 int numberOfVertices(); // 當(dāng)前頂點數(shù) private: int maxVertices; // 圖中最大的頂點數(shù) int numEdges; // 當(dāng)前邊數(shù) int numVertices; // 當(dāng)前頂點數(shù) Vertex<T, E> * nodeTable; // 頂點表(各邊鏈表的頭結(jié)點) }; // 構(gòu)造函數(shù):建立一個空的鄰接表 template <class T, class E> Graphlnk<T, E>::Graphlnk(int sz) { maxVertices = sz; numVertices = 0; numEdges = 0; nodeTable = new Vertex<T, E>[maxVertices]; // 創(chuàng)建頂點表數(shù)組 if(nodeTable == NULL) { cerr << "存儲空間分配錯誤!" << endl; exit(1); } for(int i = 0; i < maxVertices; i++) nodeTable[i].adj = NULL; } // 析構(gòu)函數(shù) template <class T, class E> Graphlnk<T, E>::~Graphlnk() { // 刪除各邊鏈表中的結(jié)點 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { Edge<T, E> *p = nodeTable[i].adj; // 找到其對應(yīng)鏈表的首結(jié)點 while(p != NULL) { // 不斷地刪除第一個結(jié)點 nodeTable[i].adj = p->link; delete p; p = nodeTable[i].adj; } } delete []nodeTable; // 刪除頂點表數(shù)組 } // 建立鄰接表表示的圖 template <class T, class E> void Graphlnk<T, E>::inputGraph() { int n, m; // 存儲頂點樹和邊數(shù) int i, j, k; T e1, e2; // 頂點 E weight; // 邊的權(quán)值 cout << "請輸入頂點數(shù)和邊數(shù):" << endl; cin >> n >> m; cout << "請輸入各頂點:" << endl; for(i = 0; i < n; i++) { cin >> e1; insertVertex(e1); // 插入頂點 } cout << "請輸入圖的各邊的信息:" << endl; i = 0; while(i < m) { cin >> e1 >> e2 >> weight; j = getVertexPos(e1); k = getVertexPos(e2); if(j == -1 || k == -1) cout << "邊兩端點信息有誤,請重新輸入!" << endl; else { insertEdge(j, k, weight); // 插入邊 i++; } } // while } // 輸出有向圖中的所有頂點和邊信息 template <class T, class E> void Graphlnk<T, E>::outputGraph() { int n, m, i; T e1, e2; // 頂點 E weight; // 權(quán)值 Edge<T, E> *p; n = numVertices; m = numEdges; cout << "圖中的頂點數(shù)為" << n << ",邊數(shù)為" << m << endl; for(i = 0; i < n; i++) { p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL) { e1 = getValue(i); // 有向邊<i, p->dest> e2 = getValue(p->dest); weight = p->cost; cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl; p = p->link; // 指向下一個鄰接頂點 } } } // 取位置為i的頂點中的值 template <class T, class E> T Graphlnk<T, E>::getValue(int i) { if(i >= 0 && i < numVertices) return nodeTable[i].data; return NULL; } // 返回邊(v1, v2)上的權(quán)值 template <class T, class E> E Graphlnk<T, E>::getWeight(int v1, int v2) { if(v1 != -1 && v2 != -1) { if(v1 == v2) // 說明是同一頂點 return 0; Edge<T , E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一條關(guān)聯(lián)的邊 while(p != NULL && p->dest != v2) { // 尋找鄰接頂點v2 p = p->link; } if(p != NULL) return p->cost; } return maxValue; // 邊(v1, v2)不存在,就存放無窮大的值 } // 插入頂點 template <class T, class E> bool Graphlnk<T, E>::insertVertex(const T& vertex) { if(numVertices == maxVertices) // 頂點表滿,不能插入 return false; nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后 numVertices++; return true; } // 插入邊 template <class T, class E> bool Graphlnk<T, E>::insertEdge(int v1, int v2, E weight) { if(v1 == v2) // 同一頂點不插入 return false; if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) { Edge<T, E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1對應(yīng)的邊鏈表頭指針 while(p != NULL && p->dest != v2) // 尋找鄰接頂點v2 p = p->link; if(p != NULL) // 已存在該邊,不插入 return false; p = new Edge<T, E>; // 創(chuàng)建新結(jié)點 p->dest = v2; p->cost = weight; p->link = nodeTable[v1].adj; // 鏈入v1邊鏈表 nodeTable[v1].adj = p; numEdges++; return true; } return false; } // 有向圖刪除頂點較麻煩 template <class T, class E> bool Graphlnk<T, E>::removeVertex(int v) { if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices) return false; // 表空或頂點號超出范圍 Edge<T, E> *p, *s; // 1.清除頂點v的邊鏈表結(jié)點w 邊<v,w> while(nodeTable[v].adj != NULL) { p = nodeTable[v].adj; nodeTable[v].adj = p->link; delete p; numEdges--; // 與頂點v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)減1 } // while結(jié)束 // 2.清除<w, v>,與v有關(guān)的邊 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { if(i != v) { // 不是當(dāng)前頂點v s = NULL; p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL && p->dest != v) {// 在頂點i的鏈表中找v的頂點 s = p; p = p->link; // 往后找 } if(p != NULL) { // 找到了v的結(jié)點 if(s == NULL) { // 說明p是nodeTable[i].adj nodeTable[i].adj = p->link; } else { s->link = p->link; // 保存p的下一個頂點信息 } delete p; // 刪除結(jié)點p numEdges--; // 與頂點v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)減1 } } } numVertices--; // 圖的頂點個數(shù)減1 nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填補(bǔ),此時numVertices,比原來numVertices小1,所以,這里不需要numVertices-1 nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj; // 3.要將填補(bǔ)的頂點對應(yīng)的位置改寫 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在頂點i的鏈表中找numVertices的頂點 p = p->link; // 往后找 if(p != NULL) // 找到了numVertices的結(jié)點 p->dest = v; // 將鄰接頂點numVertices改成v } return true; } // 刪除邊 template <class T, class E> bool Graphlnk<T, E>::removeEdge(int v1, int v2) { if(v1 != -1 && v2 != -1) { Edge<T, E> * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL; while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1對應(yīng)邊鏈表中找被刪除邊 q = p; p = p->link; } if(p != NULL) { // 找到被刪除邊結(jié)點 if(q == NULL) // 刪除的結(jié)點是邊鏈表的首結(jié)點 nodeTable[v1].adj = p->link; else q->link = p->link; // 不是,重新鏈接 delete p; return true; } } return false; // 沒有找到結(jié)點 } // 取頂點v的第一個鄰接頂點 template <class T, class E> int Graphlnk<T, E>::getFirstNeighbor(int v) { if(v != -1) { Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 對應(yīng)鏈表第一個邊結(jié)點 if(p != NULL) // 存在,返回第一個鄰接頂點 return p->dest; } return -1; // 第一個鄰接頂點不存在 } // 取頂點v的鄰接頂點w的下一鄰接頂點 template <class T, class E> int Graphlnk<T, E>::getNextNeighbor(int v,int w) { if(v != -1) { Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 對應(yīng)鏈表第一個邊結(jié)點 while(p != NULL && p->dest != w) // 尋找鄰接頂點w p = p->link; if(p != NULL && p->link != NULL) return p->link->dest; // 返回下一個鄰接頂點 } return -1; // 下一個鄰接頂點不存在 } // 給出頂點vertex在圖中的位置 template <class T, class E> int Graphlnk<T, E>::getVertexPos(const T vertex) { for(int i = 0; i < numVertices; i++) if(nodeTable[i].data == vertex) return i; return -1; } // 當(dāng)前頂點數(shù) template <class T, class E> int Graphlnk<T, E>::numberOfVertices() { return numVertices; } #endif /* Graph_h */
2.Bellman-Ford.h
#ifndef Bellman_Ford_h #define Bellman_Ford_h #include "Graph.h" // Bellman-Ford算法 template<class T, class E> void BellmanFord(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) { int i, k, u, n = G.numberOfVertices(); E w; // 1.初始化,將頂點v作為u頂點(存在<v, u>有向邊)的上一個頂點,記錄路徑 for(i = 0; i < n; i++) { dist[i] = G.getWeight(v, i); if(i != v && dist[i] < G.maxValue) path[i] = v; else path[i] = -1; } // 2.迭代求解:反復(fù)對邊集E中的每條邊進(jìn)行松弛操作,使得頂點集V中的每個頂點的最短距離估計值逐步逼近其最短距離;(運(yùn)行n-1次,因為上面算是1次:k=1,所以,k從2開始) bool isFlag; // 監(jiān)視該輪dist數(shù)組是否有變化 for(k = 2; k < n; k++) { isFlag = false; for(u = 0; u < n; u++) { // 遍歷頂點,找不是v的頂點 if(u != v) { for(i = 0; i < n; i++) { w = G.getWeight(i, u); if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) { // 存在<i, u>邊,并且繞過i,使得路徑更短,就修改u頂點的最短路徑 // w可能是負(fù)權(quán)值,如果i和u是同一頂點,則w是0,排除同一頂點的情況 // 也可以不寫w!=0,因為同一頂點,w=0,dist[u]==dist[i]+w會不滿足 // dist[u] > dist[i] + w這個條件 dist[u] = dist[i] + w; path[u] = i; // 記憶路徑 isFlag = true; } } // 第3重循環(huán) } } // 第2重循環(huán) if(isFlag == false) // 如果dist數(shù)組沒有變化,說明各個頂點已求得最短路徑 break; } // 第1重for循環(huán) } // 從path數(shù)組讀取最短路徑的算法 template <class T, class E> void printShortestPath(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) { int i, j, k, n = G.numberOfVertices(); int *d = new int[n]; cout << "從頂點" << G.getValue(v) << "到其他各頂點的最短路徑為:" << endl; for(i = 0; i < n; i++) { if(i != v) { // 如果不是頂點v j = i; k = 0; while(j != v) { d[k++] = j; j = path[j]; } cout << "頂點" << G.getValue(i) << "的最短路徑為:" << G.getValue(v); while(k > 0) cout << "->" << G.getValue(d[--k]); cout << ",最短路徑長度為:" << dist[i] << endl; } } } #endif /* Bellman_Ford_h */
3.main.cpp
/* 測試數(shù)據(jù): 7 10 0 1 2 3 4 5 6 0 1 6 0 2 5 0 3 5 1 4 -1 2 1 -2 2 4 1 3 2 -2 3 5 -1 4 6 3 5 6 3 */ #include "Bellman-Ford.h" const int maxSize = 40; int main(int argc, const char * argv[]) { Graphlnk<char, int> G; // 聲明圖對象 int dist[maxSize], path[maxSize], v; char u0; // 創(chuàng)建圖 G.inputGraph(); cout << "圖的信息如下:" << endl; G.outputGraph(); cout << "請輸入起始頂點u0:" << endl; cin >> u0; v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始頂點的位置 // 我把dist數(shù)組放到有向圖頭文件中,方便建立有向圖時,同時初始化dist數(shù)組 BellmanFord(G, v, dist, path); // 調(diào)用BellmanFord函數(shù) printShortestPath(G, v, dist, path); // 輸出到各個頂點的最短路徑 return 0; }
測試結(jié)果:
看完上述內(nèi)容,是不是對C++怎么計算任意權(quán)值的單源最短路徑有進(jìn)一步的了解,如果還想學(xué)習(xí)更多內(nèi)容,歡迎關(guān)注億速云行業(yè)資訊頻道。
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