Python中浮點(diǎn)數(shù)四舍五入問題的示例分析

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問題

昨天遇到一個問題，在 6.6045 保留三位小數(shù)時，使用 round() 函數(shù)進(jìn)行計算，我們希望得到 6.605，然而：

>>> round(6.6045, 3)
6.604

網(wǎng)上有人說，因?yàn)樵谟嬎銠C(jī)里面，小數(shù)是不精確的，例如 1.115 在計算機(jī)中實(shí)際上是 1.114999999999999991182，所以當(dāng)你對這個小數(shù)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的時候，實(shí)際上小數(shù)點(diǎn)后第三位是 4，所以四舍五入，結(jié)果為 1.11.

這種說法，對了一半。

因?yàn)椴⒉皇撬械男?shù)在計算機(jī)中都是不精確的。例如 0.125 這個小數(shù)在計算機(jī)中就是精確的，它就是 0.125，沒有省略后面的值，沒有近似，它確確實(shí)實(shí)就是 0.125.

但是如果我們在 Python 中運(yùn)行：

>>> round(0.125, 2)
0.12

為什么在這里四舍了？

還有更奇怪的，另一個在計算機(jī)里面能夠精確表示的小數(shù) 0.375，我們來看看精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位是多少：

>>> round(0.375, 2)
0.38

為什么在這里又五入了？

解析

因?yàn)樵?Python3 里面，round 對小數(shù)的精確度采用了四舍六入五成雙的方式。

如果你寫過大學(xué)物理的實(shí)驗(yàn)報告，那么你應(yīng)該會記得老師講過，直接使用四舍五入，最后的結(jié)果可能會偏高，所以需要使用奇進(jìn)偶舍的處理方法。

例如對于一個浮點(diǎn)數(shù) a.bcd，需要精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位，那么就要看小數(shù)點(diǎn)后第三位：

• 如果 d 小于 5，直接舍去;

• 如果 d 大于 5，直接進(jìn)位;

• 如果 d 等于 5：
   d 后面沒有數(shù)據(jù)，且 c 為偶數(shù)，那么不進(jìn)位，保留 c
   d 后面沒有數(shù)據(jù)，且 c 為奇數(shù)，那么進(jìn)位，c 變成 (c + 1)

• 如果 d 后面還有非 0 數(shù)字，例如實(shí)際上小數(shù)為 a.bcdef，此時一定要進(jìn)位，c 變成 (c + 1)

關(guān)于奇進(jìn)偶舍，有興趣的朋友可以在維基百科搜索這兩個詞條：數(shù)值修約和奇進(jìn)偶舍。

所以，round 給出的結(jié)果如果跟設(shè)想的不一樣，那么需要考慮兩個原因：
你的這個小數(shù)在計算機(jī)中能不能被精確儲存？如果不能，那么它可能并沒有達(dá)到四舍五入的標(biāo)準(zhǔn)，例如 1.115，它的小數(shù)點(diǎn)后第三位實(shí)際上是 4，當(dāng)然會被舍去。
如果你的這個小數(shù)在計算機(jī)中能被精確表示，那么，round 采用的進(jìn)位機(jī)制是奇進(jìn)偶舍，所以這取決于你要保留的那一位，它是奇數(shù)還是偶數(shù)，以及它的下一位后面還有沒有數(shù)據(jù)。

關(guān)于奇進(jìn)偶舍，有興趣的朋友可以在搜索這兩個詞條：數(shù)值修約和奇進(jìn)偶舍。

回到最開始的問題，對于 6.6045 這個浮點(diǎn)數(shù)，我們在 Scheme 中查看一下它的精確形式：

> (exact 6.6045)
3718002967371055/562949953421312

也就是說它是不能被精確儲存的，大概表現(xiàn)為 6.60449999999999…的形式，因此四舍五入的時候得到了 6.604。

如何正確進(jìn)行四舍五入

如果要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)上的四舍五入，那么就需要使用 decimal 模塊，具體用法參考官方文檔：https://docs.python.org/zh-cn...。
其中 quantize 的函數(shù)原型和文檔說明，提到了可以通過指定 rounding 參數(shù)來確定進(jìn)位方式。如果沒有指定 rounding 參數(shù)，那么會默認(rèn)使用上下文提供的進(jìn)位方式。

現(xiàn)在我們來查看一下默認(rèn)的上下文中的進(jìn)位方式是什么：

>>> from decimal import getcontext
>>> getcontext().rounding
'ROUND_HALF_EVEN'

ROUND_HALF_EVEN 實(shí)際上就是奇進(jìn)偶舍，如果要指定真正的四舍五入，那么我們需要在 quantize 中指定進(jìn)位方式為 ROUND_HALF_UP：

>>> from decimal import Decimal, ROUND_HALF_UP
>>> Decimal('0.125').quantize(Decimal('0.00'), rounding=ROUND_HALF_UP)
Decimal('0.13')

現(xiàn)在看起來一切都正常了。

有人可能會進(jìn)一步追問一下，如果 Decimal 接收的參數(shù)不是字符串，而是浮點(diǎn)數(shù)會怎么樣呢？
來實(shí)驗(yàn)一下：

>>> Decimal(0.125)
Decimal('0.125')

那是不是說明，在 Decimal 的第一個參數(shù)，可以直接傳浮點(diǎn)數(shù)呢？

我們換一個數(shù)來測試一下：

>>> Decimal(11.245)
Decimal('11.2449999999999992184029906638897955417633056640625')

浮點(diǎn)數(shù) 11.245 和字符串'11.245'傳進(jìn)去以后的結(jié)果居然不一樣。

我們繼續(xù)在文檔中尋找答案：

官方文檔已經(jīng)很清楚地說明了，如果你傳入的參數(shù)為浮點(diǎn)數(shù)，并且這個浮點(diǎn)值在計算機(jī)里面不能被精確存儲，那么它會先被轉(zhuǎn)換為一個不精確的二進(jìn)制值，然后再把這個不精確的二進(jìn)制值轉(zhuǎn)換為等效的十進(jìn)制值。對于不能精確表示的小數(shù)，當(dāng)你傳入的時候，Python 在拿到這個數(shù)前，這個數(shù)就已經(jīng)被轉(zhuǎn)成了一個不精確的數(shù)了。所以雖然參數(shù)傳入的是 11.245，但是 Python 拿到的實(shí)際上是 11.24499999999…

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