Python中多元線性回歸的示例分析

這篇文章將為大家詳細講解有關Python中多元線性回歸的示例分析，小編覺得挺實用的，因此分享給大家做個參考，希望大家閱讀完這篇文章后可以有所收獲。

1.觀察數(shù)據

首先，用Pandas打開數(shù)據，并進行觀察。

import numpy 
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
 
data = pd.read_csv('Folds5x2_pp.csv')
data.head()

會看到數(shù)據如下所示：

這份數(shù)據代表了一個循環(huán)發(fā)電廠，每個數(shù)據有5列，分別是:AT（溫度）, V（壓力）, AP（濕度）, RH（壓強）, PE（輸出電力)。我們不用糾結于每項具體的意思。

我們的問題是得到一個線性的關系，對應PE是樣本輸出，而AT/V/AP/RH這4個是樣本特征， 機器學習的目的就是得到一個線性回歸模型，即: PE=θ0+θ1?AT+θ2?V+θ3?AP+θ4?RH 而需要學習的，就是θ0,θ1,θ2,θ3,θ4這5個參數(shù)。

接下來對數(shù)據進行歸一化處理：

data = (data - data.mean())/data.std()

因為回歸線的截距θ0是不受樣本特征影響的，因此我們在此可以設立一個X0=1，使得回歸模型為：

PE=θ0*X0+θ1?AT+θ2?V+θ3?AP+θ4?RH

將方程向量化可得：

PE = hθ(x) = θx (θ應轉置)

2.線性回歸

在線性回歸中，首先應建立 cost function，當 cost function 的值最小時所取得θ值為所求的θ。

在線性回歸中，Cost function如下所示：

因此，可以在Python中建立函數(shù)求損失方程：

def CostFunction(X,y,theta):
  inner = np.power((X*theta.T)-y,2)
  return np.sum(inner)/(2*len(X))

然后，設初始θ為=[0,0,0,0,0],可得到最初的J(θ)值為0.49994774247491858，代碼如下所示

col = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:col-1]
y = data.iloc[:,col-1:col]
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0,0,0,0]))
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
CostFunction(X,y,theta)

接下來，有兩種方法可以使用。1.梯度下降法（gradient descent）和 2.最小二乘法（normal equation）。在此我們使用梯度下降法來求解。

梯度下降法是求得J對θ的偏導數(shù)，通過設置步長，迭代使J(θ)逐步下降，從而求得局部最優(yōu)解。

公式如下所示：

j：特征編號

m:樣本編號

我們可以在Python中寫出計算迭代后的θ和J(θ)

def gradientDescent(X,y,theta,alpha,iters):
  temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
  parameters = int(theta.ravel().shape[1])
  cost = np.zeros(iters)
  for i in range(iters):
    error = (X*theta.T)-y
    
    for j in range(parameters):
      term = np.multiply(error,X[:,j])
      temp[0,j] = theta[0,j] - (alpha/len(X))*np.sum(term)
      
    theta = temp
    cost[i] = CostFunction(X,y,theta)
    
  return theta,cost

在此，我設置初始的α為0.1，可求得迭代1000次后θ0,θ1,θ2,θ3,θ4的值分別是：

-5.22080706e-14,-8.63485491e-01,-1.74182863e-01,2.16058120e-02,-1.35205248e-01

此時 J(θ)的值為0.0379648。

通過，可視化J(θ)和迭代次數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，J(θ)收斂的非常快。

畫圖觀察預測值和損失值，距離直線約近說明損失越?。?/p>

predicted = X*g.T
predicted = predicted.flatten().A[0]
y_f= y.flatten().A[0]
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(y_f,predicted)
ax.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], 'k--', lw=4)
ax.set_xlabel('Measured')
ax.set_ylabel('Predicted')
plt.show()

3.sckit-learn

因為J(θ)收斂的太快了…所以我又用sckit-learn和SPSS驗證了一下。

先看sckit-learn，在sklearn中，線性回歸是使用的最小二乘法而不是梯度下降法，用起來也十分的簡單。

代碼如下：

from sklearn import linear_model 
model = linear_model.LinearRegression() 
model.fit(X, y)

打印出θ值后發(fā)現(xiàn)和梯度下降法算出來的相差無幾，θ0,θ1,θ2,θ3,θ4的值分別是：

0，-0.86350078，-0.17417154，0.02160293，-0.13521023

4.SPSS

在看看SPSS

同樣先將數(shù)據標準化后進行線

然后進行線性回歸分析得到結果：

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