Python龍貝格法求積分實例

發(fā)布時間：2020-09-24 18:03:34 來源：腳本之家閱讀：176 作者：咚咚怪欄目：開發(fā)技術(shù)

我就廢話不多說了，直接上代碼吧！

# 龍貝格法求積分
import math
a=0    # 積分下限
b=1    # 積分上限
eps=10**-5  # 精度
T=[]   # 復(fù)化梯形序列
S=[]   # Simpson序列
C=[]   # Cotes序列
R=[]   # Romberg序列
def func(x): # 被積函數(shù)
 y=math.exp(-x)
 return y
def Romberg(a,b,eps,func):
 h = b - a
 T.append(h * (func(a) + func(b)) / 2)
 ep=eps+1
 m=0
 while(ep>=eps):
  m=m+1
  t=0
  for i in range(2**(m-1)-1):
   t=t+func(a+(2*(i+1)-1)*h/2**m)*h/2**m
  t=t+T[-1]/2
  T.append(t)
  if m>=1:
   S.append((4**m*T[-1]-T[-2])/(4**m-1))
  if m>=2:
   C.append((4**m*S[-1]-S[-2])/(4**m-1))
  if m>=3:
   R.append((4**m*C[-1]-C[-2])/(4**m-1))
  if m>4:
   ep=abs(10*(R[-1]-R[-2]))
Romberg(a,b,eps,func)
# print(T)
# print(S)
# print(C)
# print(R)
# 計算機參考值0.6321205588
print("積分結(jié)果為：{:.5f}".format(R[-1]))

補充拓展：python實現(xiàn)數(shù)值分析之龍貝格求積公式

復(fù)合梯形公式的提出：

1.首先，什么是梯形公式：

Python龍貝格法求積分實例

梯形公式表明：f(x)在[a,b]兩點之間的積分（面積），近似地可以用一個梯形的面積表示。

2.顯然，這個梯形公式對于不同的f(x)而言，其代數(shù)精度不同。為了能適合更多的f(x)，我們一般使用牛頓-科特斯公式其中比較高次的公式來進行數(shù)值求積。但高次的缺陷是當(dāng)次數(shù)大于8次，求積公式就會不穩(wěn)定。因此，我們用于數(shù)值積分的牛頓-科特斯公式通常是一次的梯形公式、二次的辛普森公式和4此的科特斯公式。

辛普森公式：

Python龍貝格法求積分實例

科特斯公式：

Python龍貝格法求積分實例

3.牛頓-科特斯公式次數(shù)高于8次不能用，但是低次公式又精度不夠。解決辦法就是使用：復(fù)合梯形求積公式。復(fù)合求積公式就是在區(qū)間[a,b]上劃分n格小區(qū)間。一個大區(qū)間[a,b]上用一次梯形公式精度不夠，那么在n個小區(qū)間都使用梯形公式，最后將小區(qū)間的和累加起來，就可以得到整個大區(qū)間[a,b]的積分近似值。

a = x0 < x1 <x2 …<xn-1 < xn =b

Python龍貝格法求積分實例

令Tn為將[a,b]劃分n等分的復(fù)合梯形求積公式，h =(b-a)/n為小區(qū)間的長度。h/2類似于梯形公式中的（b-a）/2

注意：這里的k+1是下標(biāo)

Python龍貝格法求積分實例

通過研究我們發(fā)現(xiàn)：T2n與Tn之間存在一些遞推關(guān)系。

注意：這里的k+1/2是下標(biāo)。并且其中的h/2是中的h是Tn(n等分中的h = (b-a)/n))

Python龍貝格法求積分實例

于是乎，我們可以一次推出T1,T2,T4,T8…T2n序列

引出這些之后，才是我們的主題：龍貝格求積公式

龍貝格求積公式的實質(zhì)是用T2n序列構(gòu)造，S2n序列，

再用S2n序列構(gòu)造C2n序列

最后用C2n序列構(gòu)造R2n序列。

編程實現(xiàn)，理解下面的幾個公式即可。

Python龍貝格法求積分實例

python編程代碼如下：

# coding=UTF-8
# Author:winyn
'''
給定一個函數(shù)，如：f(x)= x^(3/2），和積分上下限a,b，用機械求積Romberg公式求積分。

'''
import numpy as np


def func(x):
 return x**(3/2)

class Romberg:
 def __init__(self, integ_dowlimit, integ_uplimit):
  '''
  初始化積分上限integ_uplimit和積分下限integ_dowlimit
  輸入一個函數(shù)，輸出函數(shù)在積分上下限的積分

  '''
  self.integ_uplimit = integ_uplimit
  self.integ_dowlimit = integ_dowlimit



 def calc(self):
  '''
  計算Richardson外推算法的四個序列

  '''
  t_seq1 = np.zeros(5, 'f')
  s_seq2 = np.zeros(4, 'f')
  c_seq3 = np.zeros(3, 'f')
  r_seq4 = np.zeros(2, 'f')
  # 循環(huán)生成hm間距序列
  hm = [(self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) / (2 ** i) for i in range(0,5)]
  print(hm)
  # 循環(huán)生成t_seq1
  fa = func(self.integ_dowlimit)
  fb = func(self.integ_uplimit)

  t0 = (1 / 2) * (self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) * (fa+fb)
  t_seq1[0] = t0

  for i in range(1, 5):
   sum = 0
   # 多出來的點的累加和
   for each in range(1, 2**i,2):
    sum =sum + hm[i]*func( self.integ_dowlimit+each * hm[i])#計算兩項值
   temp1 = 1 / 2 * t_seq1[i - 1]
   temp2 =sum
   temp = temp1 + temp2
   # 求t_seql的1-4位
   t_seq1[i] = temp
  print('T序列：'+ str(list(t_seq1)))
  # 循環(huán)生成s_seq2
  s_seq2 = [round((4 * t_seq1[i + 1] - t_seq1[i]) / 3,6) for i in range(0, 4)]
  print('S序列：' + str(list(s_seq2)))
  # 循環(huán)生成c_seq3
  c_seq3 = [round((4 ** 2 * s_seq2[i + 1] - s_seq2[i]) / (4 ** 2 - 1),6) for i in range(0, 3)]
  print('C序列：' + str(list(c_seq3)))
  # 循環(huán)生成r_seq4
  r_seq4 = [round((4 ** 3 * c_seq3[i + 1] - c_seq3[i]) / (4 ** 3 - 1),6) for i in range(0, 2)]
  print('R序列：' + str(list(r_seq4)))
  return 'end'


rom = Romberg(0, 1)
print(rom.calc())

以上這篇Python龍貝格法求積分實例就是小編分享給大家的全部內(nèi)容了，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持億速云。

向AI問一下細(xì)節(jié)

Python龍貝格法求積分實例

猜你喜歡

最新資訊

相關(guān)推薦

相關(guān)標(biāo)簽