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這篇文章主要介紹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之一組圖讓你搞懂時(shí)間復(fù)雜度的案例,文中介紹的非常詳細(xì),具有一定的參考價(jià)值,感興趣的小伙伴們一定要看完!
本篇文章中通過一組圖片讓你輕松明白什么是時(shí)間復(fù)雜度,有趣生動,具有一定學(xué)習(xí)價(jià)值,感興趣的朋友快來了解一下吧。
時(shí)間復(fù)雜度的意義
究竟什么是時(shí)間復(fù)雜度呢?讓我們來想象一個(gè)場景:某一天,小灰和大黃同時(shí)加入了一個(gè)公司......
一天過后,小灰和大黃各自交付了代碼,兩端代碼實(shí)現(xiàn)的功能都差不多。大黃的代碼運(yùn)行一次要花100毫秒,內(nèi)存占用5MB。小灰的代碼運(yùn)行一次要花100秒,內(nèi)存占用500MB。于是......
由此可見,衡量代碼的好壞,包括兩個(gè)非常重要的指標(biāo):
1.運(yùn)行時(shí)間;
2.占用空間。
基本操作執(zhí)行次數(shù)
關(guān)于代碼的基本操作執(zhí)行次數(shù),我們用四個(gè)生活中的場景,來做一下比喻:
場景1:給小灰一條長10寸的面包,小灰每3天吃掉1寸,那么吃掉整個(gè)面包需要幾天?
答案自然是 3 X 10 = 30天。
如果面包的長度是 N 寸呢?
此時(shí)吃掉整個(gè)面包,需要 3 X n = 3n 天。
如果用一個(gè)函數(shù)來表達(dá)這個(gè)相對時(shí)間,可以記作 T(n) = 3n。
場景2:給小灰一條長16寸的面包,小灰每5天吃掉面包剩余長度的一半,第一次吃掉8寸,第二次吃掉4寸,第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸,需要多少天呢?
這個(gè)問題翻譯一下,就是數(shù)字16不斷地除以2,除幾次以后的結(jié)果等于1?這里要涉及到數(shù)學(xué)當(dāng)中的對數(shù),以2位底,16的對數(shù),可以簡寫為log16。
因此,把面包吃得只剩下1寸,需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。
如果面包的長度是 N 寸呢?
需要 5 X logn = 5logn天,記作 T(n) = 5logn。
場景3:給小灰一條長10寸的面包和一個(gè)雞腿,小灰每2天吃掉一個(gè)雞腿。那么小灰吃掉整個(gè)雞腿需要多少天呢?
答案自然是2天。因?yàn)橹徽f是吃掉雞腿,和10寸的面包沒有關(guān)系 。
如果面包的長度是 N 寸呢?
無論面包有多長,吃掉雞腿的時(shí)間仍然是2天,記作 T(n) = 2。
場景4:給小灰一條長10寸的面包,小灰吃掉第一個(gè)一寸需要1天時(shí)間,吃掉第二個(gè)一寸需要2天時(shí)間,吃掉第三個(gè)一寸需要3天時(shí)間.....每多吃一寸,所花的時(shí)間也多一天。那么小灰吃掉整個(gè)面包需要多少天呢?
答案是從1累加到10的總和,也就是55天。
如果面包的長度是 N 寸呢?
此時(shí)吃掉整個(gè)面包,需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
記作 T(n) = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所講的是吃東西所花費(fèi)的相對時(shí)間,這一思想同樣適用于對程序基本操作執(zhí)行次數(shù)的統(tǒng)計(jì)。剛才的四個(gè)場景,分別對應(yīng)了程序中最常見的四種執(zhí)行方式:
場景1:T(n) = 3n,執(zhí)行次數(shù)是線性的。
void eat1(int n){ for(int i=0; i<n; i++){; System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一寸面包"); } } vo
場景2:T(n) = 5logn,執(zhí)行次數(shù)是對數(shù)的。
void eat2(int n){ for(int i=1; i<n; i*=2){ System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一半面包"); } }
場景3:T(n) = 2,執(zhí)行次數(shù)是常量的。
void eat3(int n){ System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一個(gè)雞腿"); }
場景4:T(n) = 0.5n^2 + 0.5n,執(zhí)行次數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式。
void eat4(int n){ for(int i=0; i<n; i++){ for(int j=0; j<i; j++){ System.out.println("等待一天"); } System.out.println("吃一寸面包"); } }
漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度
有了基本操作執(zhí)行次數(shù)的函數(shù) T(n),是否就可以分析和比較一段代碼的運(yùn)行時(shí)間了呢?還是有一定的困難。
比如算法A的相對時(shí)間是T(n)= 100n,算法B的相對時(shí)間是T(n)= 5n^2,這兩個(gè)到底誰的運(yùn)行時(shí)間更長一些?這就要看n的取值了。
所以,這時(shí)候有了漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度(asymptotic time complectiy)的概念,官方的定義如下:
若存在函數(shù) f(n),使得當(dāng)n趨近于無窮大時(shí),T(n)/ f(n)的極限值為不等于零的常數(shù),則稱 f(n)是T(n)的同數(shù)量級函數(shù)。
記作 T(n)= O(f(n)),稱O(f(n)) 為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度,簡稱時(shí)間復(fù)雜度。
漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度用大寫O來表示,所以也被稱為大O表示法。
如何推導(dǎo)出時(shí)間復(fù)雜度呢?有如下幾個(gè)原則:
如果運(yùn)行時(shí)間是常數(shù)量級,用常數(shù)1表示;
只保留時(shí)間函數(shù)中的最高階項(xiàng);
如果最高階項(xiàng)存在,則省去最高階項(xiàng)前面的系數(shù)。
讓我們回頭看看剛才的四個(gè)場景。
場景1:
T(n) = 3n
最高階項(xiàng)為3n,省去系數(shù)3,轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為:
T(n) = O(n)
場景2:
T(n) = 5logn
最高階項(xiàng)為5logn,省去系數(shù)5,轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為:
T(n) = O(logn)
場景3:
T(n) = 2
只有常數(shù)量級,轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為:
T(n) = O(1)
場景4:
T(n) = 0.5n^2 + 0.5n
最高階項(xiàng)為0.5n^2,省去系數(shù)0.5,轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為:
T(n) = O(n^2)
這四種時(shí)間復(fù)雜度究竟誰用時(shí)更長,誰節(jié)省時(shí)間呢?稍微思考一下就可以得出結(jié)論:
O(1)< O(logn)< O(n)< O(n^2)
在編程的世界中有著各種各樣的算法,除了上述的四個(gè)場景,還有許多不同形式的時(shí)間復(fù)雜度,比如:
O(nlogn), O(n^3), O(m*n),O(2^n),O(n?。?/p>
今后遨游在代碼的海洋里,我們會陸續(xù)遇到上述時(shí)間復(fù)雜度的算法。
時(shí)間復(fù)雜度的巨大差異
我們來舉過一個(gè)栗子:
算法A的相對時(shí)間規(guī)模是T(n)= 100n,時(shí)間復(fù)雜度是O(n)
算法B的相對時(shí)間規(guī)模是T(n)= 5n^2,時(shí)間復(fù)雜度是O(n^2)
算法A運(yùn)行在小灰家里的老舊電腦上,算法B運(yùn)行在某臺超級計(jì)算機(jī)上,運(yùn)行速度是老舊電腦的100倍。
那么,隨著輸入規(guī)模 n 的增長,兩種算法誰運(yùn)行更快呢?
從表格中可以看出,當(dāng)n的值很小的時(shí)候,算法A的運(yùn)行用時(shí)要遠(yuǎn)大于算法B;當(dāng)n的值達(dá)到1000左右,算法A和算法B的運(yùn)行時(shí)間已經(jīng)接近;當(dāng)n的值越來越大,達(dá)到十萬、百萬時(shí),算法A的優(yōu)勢開始顯現(xiàn),算法B則越來越慢,差距越來越明顯。
這就是不同時(shí)間復(fù)雜度帶來的差距。
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