用位運(yùn)算實(shí)現(xiàn)兩個(gè)整數(shù)的加減乘除(根據(jù)網(wǎng)上內(nèi)容整理)

一、整數(shù)加法

用位運(yùn)算實(shí)現(xiàn)加法也就是計(jì)算機(jī)用二進(jìn)制進(jìn)行運(yùn)算，32位的CPU只能表示32位內(nèi)的數(shù)，這里先用1位數(shù)的加法來進(jìn)行，在不考慮進(jìn)位的基礎(chǔ)上，如下

1. 1 + 1 = 0

2. 1 + 0 = 1

3. 0 + 1 = 1

4. 0 + 0 = 0

很明顯這幾個(gè)表達(dá)式可以用位運(yùn)算的“^”(按位異或)來代替，如下

1. 1 ^ 1 = 0

2. 1 ^ 0 = 1

3. 0 ^ 1 = 1

4. 0 ^ 0 = 0

要獲取進(jìn)位我們可以如下思考：

1. 0 + 0 = 0

2. 1 + 0 = 0

3. 0 + 1 = 0

4. 1 + 1 = 1

5. //換個(gè)角度看就是這樣

6. 0 & 0 = 不進(jìn)位

7. 1 & 0 = 不進(jìn)位

8. 0 & 1 = 不進(jìn)位

9. 1 & 1 = 進(jìn)位

正好，在位運(yùn)算中，我們用“<<”表示向左移動(dòng)一位，也就是“進(jìn)位”。那么我們就可以得到如下的表達(dá)式：//進(jìn)位可以用如下表示：(x&y)<<1

到這里，我們基本上擁有了這樣兩個(gè)表達(dá)式

1. x^y //執(zhí)行加法

2. (x&y)<<1 //進(jìn)位操作

我們來做個(gè)2位數(shù)的加法，在不考慮進(jìn)位的情況下

1. 11+01 = 100  // 本來的算法

2.  

3. // 用推算的表達(dá)式計(jì)算

4. 11 ^ 01 = 10

5. (11 & 01) << 1 = 10

6.  

7. //到這里 我們用普通的加法去運(yùn)算這兩個(gè)數(shù)的時(shí)候就可以得到 10 + 10 = 100

8. //但是我們不需要加法，所以要想別的方法，如果讓兩個(gè)數(shù)再按剛才的算法計(jì)算一次呢

9. 10 ^ 10 = 00

10. (10 & 10) << 1 = 100

到這里基本上就得出結(jié)論了，其實(shí)后面的那個(gè) “00” 已經(jīng)不用再去計(jì)算了，因?yàn)榈谝粋€(gè)表達(dá)式就已經(jīng)算出了結(jié)果。

繼續(xù)推理可以得出三位數(shù)的加法只需重復(fù)的計(jì)算三次得到第一個(gè)表達(dá)式的值就是計(jì)算出來的結(jié)果。

現(xiàn)總結(jié)如下：
定理1：設(shè)a，b為兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則a+b = a^b + (a&b)<<1。
證明：a^b是不考慮進(jìn)位時(shí)加法結(jié)果。當(dāng)二進(jìn)制位同時(shí)為1時(shí)，才有進(jìn)位，因此 (a&b)<<1是進(jìn)位產(chǎn)生的值，稱為進(jìn)位補(bǔ)償。將兩者相加便是完整加法結(jié)果。
定理2：使用定理1可以實(shí)現(xiàn)只用位運(yùn)算進(jìn)行加法運(yùn)算。
證明：利用定理1中的等式不停對(duì)自身進(jìn)行迭代。每迭代一次，進(jìn)位補(bǔ)償右邊就多一位0，因此最多需要加數(shù)二進(jìn)制位長(zhǎng)度次迭代，進(jìn)位補(bǔ)償就變?yōu)?，這時(shí)運(yùn)算結(jié)束。

加法的C代碼如下：

int add(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;

    int sum = a ^ b;
    int carry = (a & b) << 1;

    return add(sum, carry);
}

二、整數(shù)減法

減法只是將減數(shù)取補(bǔ)碼（按位取反，加1），然后相加。

減法的C代碼如下：

int sub(int a, int b)
{
    return add(a, add(~b, 1));
}

三、整數(shù)乘法

乘法就是將乘數(shù)寫成(2^0)*k0 + (2^1)*k1 + (2 ^2)*k2 + ... + (2^31)*k31，其中ki為0或1，然后利用位運(yùn)算和加法就可以了。

乘法的C代碼如下：

int mul(int a, int b)
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i; i <<= 1, a <<= 1)
       if (b & i)
           res = add(res, a);

    return res;
}

四、整數(shù)除法

除法就是由乘法的過程逆推，依次減掉（如果夠減的話）divisor << 31、divisor << 30、... 、divisor << 2、divisor << 1、divisor（要保證不能溢出）減掉相應(yīng)數(shù)量的除數(shù)就在結(jié)果加上相應(yīng)的數(shù)量。

除法的C代碼如下：

int div(int a, int b)
{
    int sign = 1;
    if (a & (1 << 31))
    {
        a = ~sub(a, 1);
        sign ^= 1;
    }
    if (b & (1 << 31))
    {
        b = ~sub(b, 1);
        sign ^= 1;
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0x8000; i; i >>= 1)
        if ((a >> i & 0xFFFF) >= b)
        {
            res = add(res, 1 << i & 0xFFFF);
            a = sub(a, b << i & 0xFFFF);
        }

    if (!sign)
        res = ~sub(res, 1);

    return res;
}