Matlab計(jì)算變異函數(shù)并繪制經(jīng)驗(yàn)半方差圖的方法是什么

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1 數(shù)據(jù)處理

1.1 數(shù)據(jù)讀取

本文中，我的初始數(shù)據(jù)為某區(qū)域658個(gè)土壤采樣點(diǎn)的空間位置（X與Y，單位為米）、pH值、有機(jī)質(zhì)含量與全氮含量。這些數(shù)據(jù)均存儲(chǔ)于data.xls文件中；而后期操作多于MATLAB軟件中進(jìn)行。因此，首先需將源數(shù)據(jù)選擇性地導(dǎo)入MATLAB軟件中。

利用MATLAB軟件中xlsread函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)這一功能。具體代碼附于本文的1.3 正態(tài)分布檢驗(yàn)及轉(zhuǎn)換處。

1.2 異常數(shù)據(jù)剔除

得到的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)由于采樣記錄、實(shí)驗(yàn)室測(cè)試等過(guò)程，可能具有一定誤差，從而出現(xiàn)個(gè)別異常值。選用平均值加標(biāo)準(zhǔn)差法對(duì)這些異常數(shù)據(jù)加以篩選、剔除。

分別利用平均值加標(biāo)準(zhǔn)差法中“2S”與“3S”方法加以處理，發(fā)現(xiàn)“2S”方法處理效果相對(duì)后者較好，故后續(xù)實(shí)驗(yàn)取“2S”方法處理結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行。

其中，“2S”方法是指將數(shù)值大于或小于其平均值±2倍標(biāo)準(zhǔn)差的部分視作異常值，“3S”方法則是指將數(shù)值大于或小于其平均值±3倍標(biāo)準(zhǔn)差的部分視作異常值。

得到異常值后，將其從658個(gè)采樣點(diǎn)中剔除；剩余的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)繼續(xù)后續(xù)操作。

本部分具體代碼附于1.3 正態(tài)分布檢驗(yàn)及轉(zhuǎn)換處。

1.3 正態(tài)分布檢驗(yàn)及轉(zhuǎn)換

計(jì)算變異函數(shù)需建立在初始數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布的假設(shè)之上；而采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)并不一定符合正態(tài)分布。因此，我們需要對(duì)原始數(shù)據(jù)加以正態(tài)分布檢驗(yàn)。

一般地，正態(tài)分布檢驗(yàn)可以通過(guò)數(shù)值檢驗(yàn)與直方圖、QQ圖等圖像加以直觀判斷。本文綜合采取以上兩種數(shù)值、圖像檢驗(yàn)方法，共同判斷正態(tài)分布特性。

針對(duì)數(shù)值檢驗(yàn)方法，我在一開(kāi)始準(zhǔn)備選擇采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)方法；但由于了解到，這一方法僅僅適用于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)檢驗(yàn)，因此隨后改用Lilliefors檢驗(yàn)。

Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)通過(guò)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與給定分布函數(shù)的比較，推斷該樣本是否來(lái)自給定分布函數(shù)的總體；當(dāng)其用于正態(tài)性檢驗(yàn)時(shí)只能做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)檢驗(yàn)。

Lilliefors檢驗(yàn)則將上述Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)改進(jìn)，其可用于一般的正態(tài)分布檢驗(yàn)。

QQ圖（Quantile Quantile Plot）是一種散點(diǎn)圖，其橫坐標(biāo)表示某一樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)，縱坐標(biāo)則表示另一樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)組成的散點(diǎn)圖代表同一個(gè)累計(jì)概率所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)。

因此，QQ圖具有這樣的特點(diǎn)：針對(duì)y=x這一直線，若散點(diǎn)圖中各點(diǎn)均在直線附近分布，則說(shuō)明兩個(gè)樣本為同等分布；因此，若將橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）表示為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本的分位數(shù)，則散點(diǎn)圖中各點(diǎn)均在上述直線附近分布可以說(shuō)明，縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）表示的樣本符合或基本近似符合正態(tài)分布。本文采用將橫坐標(biāo)表示為正態(tài)分布的方式。

此外，PP圖（Probability Probability Plot）同樣可以用于正態(tài)分布的檢驗(yàn)。PP圖橫坐標(biāo)表示某一樣本數(shù)據(jù)的累積概率，縱坐標(biāo)則表示另一樣本數(shù)據(jù)的累積概率；其根據(jù)變量的累積概率對(duì)應(yīng)于所指定的理論分布累積概率并繪制的散點(diǎn)圖，用于直觀地檢測(cè)樣本數(shù)據(jù)是否符合某一概率分布。和QQ圖類似，如果被檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)符合所指定的分布，則其各點(diǎn)均在上述直線附近分布。若將橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）表示為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本的分位數(shù)，則散點(diǎn)圖中各點(diǎn)均在直線附近分布可以說(shuō)明，縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）表示的樣本符合或基本近似符合正態(tài)分布。

三種土壤屬性，我選擇首先以pH數(shù)值為例進(jìn)行操作。通過(guò)上述數(shù)值檢驗(yàn)、圖像檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)得到剔除異常值后的原始pH數(shù)值數(shù)據(jù)并不符合正態(tài)分布這一結(jié)論。因此，嘗試對(duì)原數(shù)據(jù)加以對(duì)數(shù)、開(kāi)平方等轉(zhuǎn)換處理；隨后發(fā)現(xiàn)，原始pH值開(kāi)平方數(shù)據(jù)的正態(tài)分布特征雖然依舊無(wú)法通過(guò)較為嚴(yán)格的Lilliefors檢驗(yàn)，但其直方圖、QQ圖的圖像檢驗(yàn)結(jié)果較為接近正態(tài)分布，并較之前二者更加明顯。故后續(xù)取開(kāi)平方處理結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行。

值得一提的是，本文后半部分得到pH值開(kāi)平方數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)及其散點(diǎn)圖后，在對(duì)其余兩種空間屬性數(shù)據(jù)（即有機(jī)質(zhì)含量與全氮含量）進(jìn)行同樣的操作時(shí)，發(fā)現(xiàn)全氮含量數(shù)據(jù)在經(jīng)過(guò)“2S”方法剔除異常值后，其原始形式的數(shù)據(jù)是可以通過(guò)Lilliefors檢驗(yàn)的，且其直方圖、QQ圖分布特點(diǎn)十分接近正態(tài)分布。

我亦準(zhǔn)備嘗試對(duì)空間屬性數(shù)據(jù)進(jìn)行反正弦轉(zhuǎn)換。但隨后發(fā)現(xiàn)，已有三種屬性數(shù)值的原始數(shù)據(jù)并不嚴(yán)格分布在-1至1的區(qū)間內(nèi)，因此并未對(duì)其進(jìn)行反正弦方式的轉(zhuǎn)換。

經(jīng)過(guò)上述檢驗(yàn)、轉(zhuǎn)換處理過(guò)后的圖像檢驗(yàn)結(jié)果如下所示。

以上部分代碼如下：

clc;clear;
info=xlsread('data.xls');
oPH=info(:,3);
oOM=info(:,4);
oTN=info(:,5);
 
mPH=mean(oPH);
sPH=std(oPH);
num2=find(oPH>(mPH+2*sPH)|oPH<(mPH-2*sPH));
num3=find(oPH>(mPH+3*sPH)|oPH<(mPH-3*sPH));
PH=oPH;
for i=1:length(num2)
    n=num2(i,1);
    PH(n,:)=[0];
end
PH(all(PH==0,2),:)=[];
 
%KSTest(PH,0.05)
H1=lillietest(PH);
 
for i=1:length(PH)
    lPH(i,:)=log(PH(i,:));
end
 
H2=lillietest(lPH);
 
for i=1:length(PH)
    sqPH(i,:)=(PH(i,:))^0.5;
end
 
H3=lillietest(sqPH);
 
% for i=1:length(PH)
%     arcPH(i,:)=asin(PH(i,:));
% end
% 
% H4=lillietest(arcPH);
 
subplot(2,3,1),histogram(PH),title("Distribution Histogram of pH");
subplot(2,3,2),histogram(lPH),title("Distribution Histogram of Natural Logarithm of pH");
subplot(2,3,3),histogram(sqPH),title("Distributio n Histogram of Square Root of pH");
subplot(2,3,4),qqplot(PH),title("Quantile Quantile Plot of pH");
subplot(2,3,5),qqplot(lPH),title("Quantile Quantile Plot of Natural Logarithm of pH");
subplot(2,3,6),qqplot(sqPH),title("Quantile Quantile Plot of Square Root of pH");

2 距離量算

接下來(lái)，需要對(duì)篩選出的采樣點(diǎn)相互之間的距離加以量算。這是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，需要借助循環(huán)語(yǔ)句。

本部分具體代碼如下。

poX=info(:,1);
poY=info(:,2);
dis=zeros(length(PH),length(PH));
for i=1:length(PH)
    for j=i+1:length(PH)
        dis(i,j)=sqrt((poX(i,1)-poX(j,1))^2+(poY(i,1)-poY(j,1))^2);
    end
end

3 距離分組

計(jì)算得到全部采樣點(diǎn)相互之間的距離后，我們需要依據(jù)一定的范圍劃定原則，對(duì)距離數(shù)值加以分組。

距離分組首先需要確定步長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若將步長(zhǎng)選取過(guò)大會(huì)導(dǎo)致得到的散點(diǎn)圖精度較低，而若步長(zhǎng)選取過(guò)小則可能會(huì)使得每組點(diǎn)對(duì)總數(shù)量較少。因此，這里取步長(zhǎng)為500米；其次確定最大滯后距，這里以全部采樣點(diǎn)間最大距離的一半為其值。隨后計(jì)算各組對(duì)應(yīng)的滯后級(jí)別、各組上下界范圍等。

本部分具體代碼附于本文4 平均距離、半方差計(jì)算及其繪圖處。

4 平均距離、半方差計(jì)算及其繪圖

分別計(jì)算各個(gè)組內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)、點(diǎn)對(duì)間距離總和以及點(diǎn)對(duì)間屬性值差值總和等。隨后，依據(jù)上述參數(shù)，最終求出點(diǎn)對(duì)間距離平均值以及點(diǎn)對(duì)間屬性值差值平均值。

依據(jù)各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)間距離平均值為橫軸，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)間屬性值差值平均值為縱軸，繪制出經(jīng)驗(yàn)半方差圖。

本部分及上述部分具體代碼如下。

madi=max(max(dis));
midi=min(min(dis(dis>0)));
radi=madi-midi;
ste=500;
clnu=floor((madi/2)/ste)+1;
ponu=zeros(clnu,1);
todi=ponu;
todiav=todi;
diff=ponu;
diffav=diff;
for k=1:clnu
    midite=ste*(k-1);
    madite=ste*k;
    for i=1:length(sqPH)
        for j=i+1:length(sqPH)
            if dis(i,j)>midite && dis(i,j)<=madite
                ponu(k,1)=ponu(k,1)+1;
                todi(k,1)=todi(k,1)+dis(i,j); diff(k,1)=diff(k,1)+(sqPH(i)-sqPH(j))^2;
            end
        end
    end
    todiav(k,1)=todi(k,1)/ponu(k,1);
    diffav(k,1)=diff(k,1)/ponu(k,1)/2;
end
plot(todiav(:,1),diffav(:,1)),title("Empirical Semivariogram of Square Root of pH");
xlabel("Separation Distance (Metre)"),ylabel("Standardized Semivariance");

5 繪圖結(jié)果

通過(guò)上述過(guò)程，得到pH值開(kāi)平方后的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)折線圖及散點(diǎn)圖。

可以看到，pH值開(kāi)平方后的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)較符合于有基臺(tái)值的球狀模型或指數(shù)模型。函數(shù)數(shù)值在距離為0至8000米區(qū)間內(nèi)快速上升，在距離為8000米后數(shù)值上升放緩，變程為25000米左右；即其“先快速上升，再增速減緩，后趨于平穩(wěn)”的圖像整體趨勢(shì)較為明顯。但其數(shù)值整體表現(xiàn)較低——塊金常數(shù)為0.004左右，而基臺(tái)值僅為0.013左右。為驗(yàn)證數(shù)值正確性，同樣對(duì)有機(jī)質(zhì)、全氮進(jìn)行上述全程操作。

得到二者對(duì)應(yīng)變異函數(shù)折線圖與散點(diǎn)圖。

由以上三組、共計(jì)六幅的pH值開(kāi)平方、有機(jī)質(zhì)與全氮對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)折線圖與散點(diǎn)圖可知，不同數(shù)值對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)數(shù)值的數(shù)量級(jí)亦會(huì)有所不同；但其整體“先快速上升，再增速減緩，后趨于平穩(wěn)”的圖像整體趨勢(shì)是十分一致的。

此外，如上文所提到的，針對(duì)三種空間屬性數(shù)據(jù)（pH值、有機(jī)質(zhì)含量與全氮含量）中最符合正態(tài)分布，亦是三種屬性數(shù)據(jù)各三種（原始值、取對(duì)數(shù)與開(kāi)平方）、共九種數(shù)據(jù)狀態(tài)中唯一一個(gè)通過(guò)Lilliefors正態(tài)分布檢驗(yàn)的數(shù)值——全氮含量經(jīng)過(guò)異常值剔除后的原始值，將其正態(tài)分布的圖像檢驗(yàn)結(jié)果特展示如下。

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