C++?AVLTree高度平衡的二叉搜索樹怎么實(shí)現(xiàn)

這篇“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索樹怎么實(shí)現(xiàn)”文章的知識(shí)點(diǎn)大部分人都不太理解，所以小編給大家總結(jié)了以下內(nèi)容，內(nèi)容詳細(xì)，步驟清晰，具有一定的借鑒價(jià)值，希望大家閱讀完這篇文章能有所收獲，下面我們一起來看看這篇“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索樹怎么實(shí)現(xiàn)”文章吧。

一、AVL樹的概念

二叉搜索樹雖可以縮短查找的效率，但如果數(shù)據(jù)有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹，查找元素相當(dāng)于在順序表中搜索元素，效率低下。

因此，兩位俄羅斯的數(shù)學(xué)家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發(fā)明了一種解決上述問題的方法：當(dāng)向二叉搜索樹中插入新結(jié)點(diǎn)后，如果能保證每個(gè)結(jié)點(diǎn)的左右子樹高度之差的絕對(duì)值不超過1(需要對(duì)樹中的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索長度。

一棵AVL樹或者是空樹，或者是具有以下性質(zhì)的二叉搜索樹：

它的左右子樹都是AVL樹

左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對(duì)值不超過1(-1/0/1)

平衡因子= 右子樹高度-左子樹高度

如果一棵二叉搜索樹是高度平衡的，它就是AVL樹。如果它有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，其高度可保持在O(log2N) ，搜索時(shí)間復(fù)雜度O(log2N)

二、AVL樹節(jié)點(diǎn)的定義

節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)：三叉鏈結(jié)構(gòu)（左、右、父），以及平衡因子bf+構(gòu)造函數(shù)（左右為空，平衡因子初始化為0）

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

三、AVL樹的插入

AVL樹在二叉搜索樹的基礎(chǔ)上引入了平衡因子，因此AVL樹也可以看成是二叉搜索樹。步驟過程：

找到插入的位置：根據(jù)二叉搜索樹的做法

進(jìn)行插入：判斷插入的位置是parent的左還是右

更新平衡因子：如果不平衡的話，就要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

找到插入位置（比較節(jié)點(diǎn)大小即可）：

• 插入的節(jié)點(diǎn)key值 > 當(dāng)前位置的key值，往右子樹走

• 插入的節(jié)點(diǎn)key值 < 當(dāng)前位置的key值，往左子樹走

• 插入的節(jié)點(diǎn)key值等于當(dāng)前位置的key值，不能插入，返回false

插入之后，與二叉搜索樹不同的是：我們還需要去進(jìn)行平衡因子的更新，調(diào)平衡：

如果新增加的在右，平衡因子加加

如果新增加的在左，平衡因子減減

更新一個(gè)結(jié)點(diǎn)之后我們需要去進(jìn)行判斷，子樹的高度是否發(fā)生了變化：

1.如果parent的平衡因子是0：說明之前parent的平衡因子是1或-1，說明之前parent一邊高、一邊低；這次插入之后填入矮的那邊，parent所在的子樹高度不變，不需要繼續(xù)往上更新

2.如果parent的平衡因子是1或者-1：說明之前parent的平衡因子是0，兩邊一樣高，插入之后一邊更高，parent所在的子樹高度發(fā)生變化，繼續(xù)往上更新

3.平衡因子是2或-2，說明之前parent的平衡因子是1或-1，現(xiàn)在插入嚴(yán)重不平衡，違反規(guī)則，需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理

最壞的情況下：需要一直更新到根root：

我們更新平衡因子時(shí)第一個(gè)更新的就是parent,如果parent->_bf1或parent->_bf-1需要繼續(xù)往上進(jìn)行平衡因子的更新，向上迭代，直到parent為空的情況：

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
    cur = parent;
    parent = parent->_parent;
}

當(dāng)parent->_bf = 2或parent->_bf==-2時(shí)，我們就需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)了：

????如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是1時(shí)，說明右邊的右邊比較高，我們需要進(jìn)行左單旋

????如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是-1時(shí)，說明左邊的左邊比較高，我們需要進(jìn)行右單旋

????如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是1時(shí)，我們需要進(jìn)行左右雙旋

????如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是-1時(shí)，我們需要進(jìn)行右左雙旋

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
			{
				//左旋轉(zhuǎn)
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				//右旋
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				//左右雙旋
				else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				//右左雙旋
				else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

四、AVL樹的旋轉(zhuǎn)

在一棵原本是平衡的AVL樹中插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，可能造成不平衡，此時(shí)必須調(diào)整樹的結(jié)構(gòu)，使之平衡化。根據(jù)節(jié)點(diǎn)插入位置的不同，AVL樹的旋轉(zhuǎn)分為四種。

旋轉(zhuǎn)規(guī)則：

1.讓這顆子樹左右高度差不超過1

2.旋轉(zhuǎn)過程中繼續(xù)保持它是搜索樹

3.更新調(diào)整孩子節(jié)點(diǎn)的平衡因子

4.讓這顆子樹的高度根插入前保持一致

1.左單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高右子樹的右側(cè)—右右：左單旋

抽象圖：

a/b/c是高度為h的AVL子樹，代表多數(shù)情況：h>=0,其中h可以等于0、1、2…，不過都可以抽象成h，處理情況都一樣：此時(shí)parent等于2，subR等于1。

具體左旋的步驟：

subRL成為parent的右子樹：注意subL和parent的關(guān)系，調(diào)整parent的右以及subRL的父（subRL可能為空）

parent成為subR的左子樹：調(diào)整parent的父與subR的左

subR成為相對(duì)的根節(jié)點(diǎn)：調(diào)整subR與ppNode：注意parent是不是整棵樹的root，如果是，則讓subR為_root,同時(shí)讓_root->_parent置為空

更新平衡因子

左旋調(diào)整：subR的左子樹值（subRL）本身就比parent的值要大，所以可以作為parent的右子樹;而parent及其左子樹當(dāng)中結(jié)點(diǎn)的值本身就比subR的值小，所以可以作為subR的左子樹。

**更新平衡因子bf:**subR與parent的bf都更新為0

代碼實(shí)現(xiàn)左旋轉(zhuǎn)：

//左單旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

2.右單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹的左側(cè)—左左：右單旋

有了前面左旋的基礎(chǔ)，我們?cè)趤砜从倚蜎]有那么費(fèi)勁了：

a/b/c是高度為h的AVL樹，右旋旋轉(zhuǎn)動(dòng)作：b變成60的左邊，60變成30的右邊，30變成子樹的根。

30比60小，b值是處于30和60之間，此時(shí)作為60的左邊是沒有問題的。

有了這個(gè)圖，在結(jié)合前面左單旋的基礎(chǔ)，我們就能很快實(shí)現(xiàn)我們的右單旋代碼：

//右單旋
void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		subL->_right = parent;
		//if(_root==parent)
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3.左右雙旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹的右側(cè)—左右：先左單旋再右單旋

a/d是高度為h的AVL樹，b/c是高度為h-1的AVL樹。

以30為軸點(diǎn)進(jìn)行左單旋：b變成30的右邊，30變成60的左邊，60變成子樹根

以90為軸點(diǎn)進(jìn)行右單旋：c變成90的左邊，90變成60的右邊，60變成子樹的根

左右雙旋：以subL為軸點(diǎn)左旋，以parent為軸點(diǎn)進(jìn)行右旋，在進(jìn)行平衡因子的更新(最大的問題)

我們從總體的角度來看，左右雙旋的結(jié)果就是：就是把subLR的左子樹和右子樹，分別作為subL和parent的右子樹和左子樹，同時(shí)subL和parent分別作為subLR的左右子樹，最后讓subLR作為整個(gè)子樹的根

subLR的左子樹作為subL的右子樹：因?yàn)閟ubLR的左子樹結(jié)點(diǎn)比subL的大

subLR的右子樹作為parent的左子樹：因?yàn)閟ubLR的右子樹結(jié)點(diǎn)比parent的小

平衡因子的更新：重新判斷（識(shí)別插入節(jié)點(diǎn)是在b還是在c）根據(jù)subLR平衡因子的初始情況進(jìn)行分類：

如果subLR初始平衡因子是-1時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為1、0、0（插入在b）

如果subLR的初始平衡因子是1時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為0、-1、0（插入在c）

如果subLR初始平衡因子是0時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為0、0、0（subLR自己新增）

代碼實(shí)現(xiàn)：

//左右雙旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR ->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		//更新平衡因子
		if (bf == -1)//b插入,subLR左子樹新增
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//c插入，subLR右子樹新增
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//subLR自己新增加
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

4.右左雙旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高右子樹的左側(cè)—右左：先右單旋再左單旋

插入

subR為軸點(diǎn)進(jìn)行右單旋：

parent為軸進(jìn)行左單旋：

既右左雙旋：

右左雙旋后，根據(jù)subRL 初始平衡因子的不同分為三種情況分別對(duì)應(yīng)subRL = 0、1、-1情況，與左右雙旋情況類似。

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

五、進(jìn)行驗(yàn)證

AVL樹是在二叉搜索樹的基礎(chǔ)上加入了平衡性的限制，因此要驗(yàn)證AVL樹，可以分兩步：

驗(yàn)證其為二叉搜索樹

如果中序遍歷可得到一個(gè)有序的序列，就說明為二叉搜索樹

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

驗(yàn)證其為平衡樹

每個(gè)節(jié)點(diǎn)子樹高度差的絕對(duì)值不超過1(注意節(jié)點(diǎn)中如果沒有平衡因子)節(jié)點(diǎn)的平衡因子是否計(jì)算正確

如果是空樹，是AVL樹；高度差不大于2，并且遞歸左右子樹的高度差都不大于2，也是AVL樹；判斷平衡因子和該點(diǎn)的高度差是否相等

//求高度
int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int lh = Height(root->_left);
		int rh = Height(root->_right);
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
//判斷平衡
bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子異常" << endl;
			return false;
		}
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}

六、AVLTree的性能

AVL樹是一棵絕對(duì)平衡的二叉搜索樹，其要求每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹高度差的絕對(duì)值都不超過1，這樣可以保證查詢時(shí)高效的時(shí)間復(fù)雜度即log2( N) 。但是如果要對(duì)AVL樹做一些結(jié)構(gòu)修改的操作，性能非常低下，比如：插入時(shí)要維護(hù)其絕對(duì)平衡，旋轉(zhuǎn)的次數(shù)比較多，更差的是在刪除時(shí)，有可能一直要讓旋轉(zhuǎn)持續(xù)到根的位置。

因此：如果需要一種查詢高效且有序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而且數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為靜態(tài)的(即不會(huì)改變)，可以考慮AVL樹，但一個(gè)結(jié)構(gòu)經(jīng)常修改，就不太適合.

送上源碼：

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <time.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};
template <class K,class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
			{
				//左旋轉(zhuǎn)
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				//右旋
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				//左右雙旋
				else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				//右左雙旋
				else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
	//左單旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		subL->_right = parent;
		//if(_root==parent)
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	//左右雙旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR ->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		//更新平衡因子
		if (bf == -1)//b插入,subLR左子樹新增
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//c插入，subLR右子樹新增
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//subLR自己新增加
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	//右左雙旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int lh = Height(root->_left);
		int rh = Height(root->_right);
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
	bool IsBalance()
	{
		return IsBalance(_root);
	}
	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子異常" << endl;
			return false;
		}
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};
//測試
void TestAVLTree()
{
	//int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e,e));
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}
void TestAVLTree2()
{
	srand(time(0));
	const size_t N = 100000;
	AVLTree<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		size_t x = rand();
		t.Insert(make_pair(x, x));
	}
	//t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

以上就是關(guān)于“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索樹怎么實(shí)現(xiàn)”這篇文章的內(nèi)容，相信大家都有了一定的了解，希望小編分享的內(nèi)容對(duì)大家有幫助，若想了解更多相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，請(qǐng)關(guān)注億速云行業(yè)資訊頻道。