高斯混合模型與EM算法的示例分析

這篇文章給大家分享的是有關高斯混合模型與EM算法的示例分析的內(nèi)容。小編覺得挺實用的，因此分享給大家做個參考，一起跟隨小編過來看看吧。

一、前言 

高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)簡稱GMM，是一種業(yè)界廣泛使用的聚類算法。它是多個高斯分布函數(shù)的線性組合，理論上GMM可以擬合出任意類型的分布，通常用于解決同一集合下的數(shù)據(jù)包含多種不同的分布的情況。高斯混合模型使用了期望最大(Expectation Maximization， 簡稱EM)算法進行訓練，故此我們在了解GMM之后，也需要了解如何通過EM算法訓練(求解)GMM。

二、高斯混合模型(GMM) 

在了解高斯混合模型之前，我們先了解一下這種模型的具體參數(shù)模型-高斯分布。高斯分布又稱正態(tài)分布，是一種在自然界中大量存在的，最為常見的分布形式。

如上圖，這是一個關于身高的生態(tài)分布曲線，關于175-180對稱，中間高兩邊低，相信大家在高中已經(jīng)很了解了，這里就不再闡述。

現(xiàn)在，我們引用《統(tǒng)計學習方法》-李航 書中的定義，如下圖：

根據(jù)定義，我們可以理解為，GMM是多個高斯分布的加權和，并且權重α之和等于1。這里不難理解，因為GMM最終反映出的是一個概率，而整個模型的概率之和為1，所以權重之和即為1。高斯混合模型實則不難理解，接下來我們介紹GMM的訓練(求解)方法。

PS.從數(shù)學角度看，對于一個概率模型的求解，即為求其最大值。從深度學習角度看，我們希望降低這個概率模型的損失函數(shù)，也就是希望訓練模型，獲得最大值。訓練和求解是不同專業(yè)，但相同目標的術語。

三、最大似然估計 

想要了解EM算法，我們首先需要了解最大似然估計這個概念。我們通過一個簡單的例子來解釋一下。

假設，我們需要調(diào)查學校男女生的身高分布。我們用抽樣的思想，在校園里隨機抽取了100男生和100女生，共計200個人(身高樣本數(shù)據(jù))。我們假設整個學校的身高分布服從于高斯分布。但是這個高斯分布的均值u和方差?2我們不知道，這兩個參數(shù)就是我們需要估計的值。記作θ=[u, ?]T。

由于每個樣本都是獨立地從p(x|θ)中抽取的，并且所有的樣本都服從于同一個高斯分布p(x|θ)。那么我們從整個學校中，那么我抽到男生A（的身高）的概率是p(xA|θ)，抽到男生B的概率是p(xB|θ)。而恰好抽取出這100個男生的概率，就是每個男生的概率乘積。用下式表示：

這個概率反映了，在概率密度函數(shù)的參數(shù)是θ時，得到X這組樣本的概率。在公式中，x已知，而θ是未知，所以它是θ的函數(shù)。這個函數(shù)放映的是在不同的參數(shù)θ取值下，取得當前這個樣本集的可能性，因此稱為參數(shù)θ相對于樣本集X的似然函數(shù)（likehood function）。記為L(θ)。

我們先穿插一個小例子，來闡述似然的概念。 

某位同學與一位獵人一起外出打獵，一只野兔從前方竄過。只聽一聲槍響，野兔應聲到下，如果要你推測，這一發(fā)命中的子彈是誰打的？你就會想，只發(fā)一槍便打中，由于獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率，看來這一槍是獵人射中的。

這個例子所作的推斷就體現(xiàn)了極大似然法的基本思想，我們并不知道具體是誰打的兔子，但是我們可以估計到一個看似正確的參數(shù)?；氐侥猩砀叩睦又?。在整個學校中我們一次抽到這100個男生(樣本)，而不是其他的人，那么我們可以認為這100個男生(樣本)出現(xiàn)的概率最大，用上面的似然函數(shù)L(θ)來表示。

所以，我們就只需要找到一個參數(shù)θ，其對應的似然函數(shù)L(θ)最大，也就是說抽到這100個男生（的身高）概率最大。這個叫做θ的最大似然估計量，記為：

因為L(θ)是一個連乘函數(shù)，我們?yōu)榱吮阌诜治觯梢远x對數(shù)似然函數(shù)，運用對數(shù)的運算規(guī)則，把連乘轉變?yōu)檫B加：

PS.這種數(shù)學方法在MFCC中我們曾經(jīng)用過，可以回溯一下上一篇文章。

此時，我們要求θ，只需要使θ的似然函數(shù)L(θ)極大化，然后極大值對應的θ就是我們的估計。在數(shù)學中求一個函數(shù)的最值問題，即為求導，使導數(shù)為0，解方程式即可(前提是函數(shù)L(θ)連續(xù)可微)。在深度學習中，θ是包含多個參數(shù)的向量，運用高等數(shù)學中的求偏導，固定其中一個變量的思想，即可求出極致點，解方程。

總結而言：

最大似然估計，只是一種概率論在統(tǒng)計學的應用，它是參數(shù)估計的方法之一。說的是已知某個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計就是通過若干次試驗，觀察其結果，利用結果推出參數(shù)的大概值。最大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數(shù)能使這個樣本出現(xiàn)的概率最大，我們當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數(shù)作為估計的真實值。

求最大似然函數(shù)估計值的一般步驟：

• 寫出似然函數(shù)；

• 對似然函數(shù)取對數(shù)，并整理；(化乘為加)

• 求導數(shù)，令導數(shù)為0，得到似然方程；

• 解似然方程，得到的參數(shù)即為所求。

四、EM算法 

期望最大(Expectation Maximization， 簡稱EM)算法，稱為機器學習十大算法之一。它是一種從不完全數(shù)據(jù)或有數(shù)據(jù)丟失的數(shù)據(jù)集（存在隱含變量）中求解概率模型參數(shù)的最大似然估計方法。

現(xiàn)在，我們重新回到男女生身高分布的例子。我們通過抽取100個男生身高，并假設身高分布服從于高斯分布，我們通過最大化其似然函數(shù)，可以求的高斯分布的參數(shù)θ=[u, ?]T了，對女生同理。但是，假如這200人，我們只能統(tǒng)計到其身高數(shù)據(jù)，但是沒有男女信息(其實就是面對200個樣本，抽取得到的每個樣本都不知道是從哪個分布抽取的，這對于深度學習的樣本分類很常見)。這個時候，我們需要對樣本進行兩個東西的猜測或者估計了。

EM算法就可以解決這個問題。假設我們想估計知道A和B兩個參數(shù)，在開始狀態(tài)下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反過來知道了B也就得到了A?？梢钥紤]首先賦予A某種初值，以此得到B的估計值，然后從B的當前值出發(fā)，重新估計A的取值，這個過程一直持續(xù)到收斂為止。

在男女生身高分布的例子中，我們運用EM算法的思想。首先隨便猜一下男生的高斯分布參數(shù):均值和方差。假設均值是1.7米，方差是0.1米，然后計算出每個人更可能屬于第一個還是第二個正態(tài)分布中。這是第一步，Expectation。在分開了兩類之后，我們可以通過之前用的最大似然，通過這兩部分，重新估算第一個和第二個分布的高斯分布參數(shù):均值和方差。這是第二步，Maximization。然后更新這兩個分布的參數(shù)。這是可以根據(jù)更新的分布，重新調(diào)整E(Expectation)步驟...如此往復，迭代到參數(shù)基本不再發(fā)生變化。

這里原作者提到了一個數(shù)學思維，很受啟發(fā)，轉給大家看一眼(比較雞湯和啰嗦，大家可以跳過)

這時候你就不服了，說你老迭代迭代的，你咋知道新的參數(shù)的估計就比原來的好??？為什么這種方法行得通呢？有沒有失效的時候呢？什么時候失效呢？用到這個方法需要注意什么問題呢？呵呵，一下子拋出那么多問題，搞得我適應不過來了，不過這證明了你有很好的搞研究的潛質(zhì)啊。呵呵，其實這些問題就是數(shù)學家需要解決的問題。在數(shù)學上是可以穩(wěn)當?shù)淖C明的或者得出結論的。那咱們用數(shù)學來把上面的問題重新描述下。（在這里可以知道，不管多么復雜或者簡單的物理世界的思想，都需要通過數(shù)學工具進行建模抽象才得以使用并發(fā)揮其強大的作用，而且，這里面蘊含的數(shù)學往往能帶給你更多想象不到的東西，這就是數(shù)學的精妙所在?。?/p>

五、EM算法的簡單理解方式 

在提出EM算法的推導過程之前，先提出中形象的理解方式，便于大家理解整個EM算法，如果只是實現(xiàn)深度學習模型，個人認為可以不需要去看后面的算法推導，看這個就足夠了。

坐標上升法(Coordinate ascent):

圖中的直線式迭代優(yōu)化的途徑，可以看到每一步都會向最優(yōu)值靠近，而每一步前進的路線都平行于坐標軸。那么我們可以將其理解為兩個未知數(shù)的方程求解。倆個未知數(shù)求解的方式，其實是固定其中一個未知數(shù)，求另一個未知數(shù)的偏導數(shù)，之后再反過來固定后者，求前者的偏導數(shù)。EM算法的思想，其實也是如此。使用坐標上升法，一次固定一個變量，對另外的求極值，最后逐步逼近極值。對應到EM上，E步：固定θ，優(yōu)化Q；M步：固定Q，優(yōu)化θ；交替將極值推向最大。 

六、EM算法推導 

現(xiàn)在很多深度學習框架可以簡單調(diào)用EM算法，實際上這一段大家可以不用看，直接跳過看最后的總結即可。但是如果你希望了解一些內(nèi)部的邏輯，可以看一下這一段推導過程。

假設我們有一個樣本集{x(1),…,x(m)}，包含m個獨立的樣本(右上角為樣本序號)。但每個樣本i對應的類別z(i)是未知的（相當于聚類），也即隱含變量。故我們需要估計概率模型p(x,z)的參數(shù)θ(在文中可理解為高斯分布)，但是由于里面包含隱含變量z，所以很難用最大似然求解，但如果z知道了，那我們就很容易求解了。

首先放出似然函數(shù)公式，我們接下來對公式進行化簡：

對于參數(shù)估計，我們本質(zhì)上的思路是想獲得一個使似然函數(shù)最大化的參數(shù)θ，現(xiàn)在多出一個未知變量z，公式(1)。那么我們的目標就轉變?yōu)椋赫业竭m合的θ和z讓L(θ)最大。

對于多個未知數(shù)的方程分別對未知的θ和z分別求偏導，再設偏導為0，即可解方程。

因為(1)式是和的對數(shù)，當我們在求導的時候，形式會很復雜。

這里我們需要做一個數(shù)學轉化。我們對和的部分，乘以一個相等的函數(shù)，得到(2)式，利用Jensen不等式的性質(zhì)，將(2)式轉化為(3)式。(Jensen不等式數(shù)學推到比較復雜，知道結果即可)

Note:

Jensen不等式表述如下：

如果f是凸函數(shù)，X是隨機變量，那么：E[f(X)]>=f(E[X])

特別地，如果f是嚴格凸函數(shù)，當且僅當X是常量時，上式取等號。參考鏈接: https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8537620

至此，上面的式（2）和式（3）不等式可以寫成：似然函數(shù)L(θ)>=J(z,Q)，那么我們可以通過不斷的最大化這個下界J(z,Q)函數(shù)，來使得L(θ)不斷提高，最終達到它的最大值。

現(xiàn)在，我們推導出了在固定參數(shù)θ后，使下界拉升的Q(z)的計算公式就是后驗概率，解決了Q(z)如何選擇的問題。這一步就是E步，建立L(θ)的下界。接下來的M步，就是在給定Q(z)后，調(diào)整θ，去極大化L(θ)的下界J（在固定Q(z)后，下界還可以調(diào)整的更大）。

總結而言

EM算法是一種從不完全數(shù)據(jù)或有數(shù)據(jù)丟失的數(shù)據(jù)集(存在隱藏變量)中，求解概率模型參數(shù)的最大似然估計方法。

EM的算法流程：

1>初始化分布參數(shù)θ；

重復2>, 3>直到收斂:

2>E步驟(Expectation):根據(jù)參數(shù)初始值或上一次迭代的模型參數(shù)來計算出隱性變量的后驗概率，其實就是隱性變量的期望。作為隱藏變量的現(xiàn)估計值：

3>M步驟(Maximization):將似然函數(shù)最大化以獲得新的參數(shù)值：

這個不斷迭代的過程，最終會讓E、M步驟收斂，得到使似然函數(shù)L(θ)最大化的參數(shù)θ。

在L(θ)的收斂證明:

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