C++使用LeetCode實(shí)現(xiàn)獨(dú)一無(wú)二的二叉搜索樹

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[LeetCode] 96. Unique Binary Search Trees 獨(dú)一無(wú)二的二叉搜索樹

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

這道題實(shí)際上是 卡塔蘭數(shù) Catalan Numbe 的一個(gè)例子，如果對(duì)卡塔蘭數(shù)不熟悉的童鞋可能真不太好做。話說(shuō)其實(shí)我也是今天才知道的好嘛 -.-|||，為啥我以前都不知道捏？！為啥卡塔蘭數(shù)不像斐波那契數(shù)那樣人盡皆知呢，是我太孤陋寡聞么？！不過(guò)今天知道也不晚，不斷的學(xué)習(xí)新的東西，這才是刷題的意義所在嘛! 好了，廢話不多說(shuō)了，趕緊回到題目上來(lái)吧。我們先來(lái)看當(dāng) n = 1 的情況，只能形成唯一的一棵二叉搜索樹，n分別為 1,2,3 的情況如下所示：

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
/          \
1            2

1         3     3      2      1           n = 3
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

就跟斐波那契數(shù)列一樣，我們把 n = 0 時(shí)賦為1，因?yàn)榭諛湟菜阋环N二叉搜索樹，那么 n = 1 時(shí)的情況可以看做是其左子樹個(gè)數(shù)乘以右子樹的個(gè)數(shù)，左右子樹都是空樹，所以1乘1還是1。那么 n = 2 時(shí)，由于1和2都可以為根，分別算出來(lái)，再把它們加起來(lái)即可。n = 2 的情況可由下面式子算出（這里的 dp[i] 表示當(dāng)有i個(gè)數(shù)字能組成的 BST 的個(gè)數(shù)）：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1為根的情況，則左子樹一定不存在，右子樹可以有一個(gè)數(shù)字)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2為根的情況，則左子樹可以有一個(gè)數(shù)字，右子樹一定不存在)

同理可寫出 n = 3 的計(jì)算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1為根的情況，則左子樹一定不存在，右子樹可以有兩個(gè)數(shù)字)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2為根的情況，則左右子樹都可以各有一個(gè)數(shù)字)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3為根的情況，則左子樹可以有兩個(gè)數(shù)字，右子樹一定不存在)

我們根據(jù)以上的分析，可以寫出代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

由卡特蘭數(shù)的遞推式還可以推導(dǎo)出其通項(xiàng)公式，即 C(2n,n)/(n+1)，表示在 2n 個(gè)數(shù)字中任取n個(gè)數(shù)的方法再除以 n+1，只要你還沒(méi)有忘記高中的排列組合的知識(shí)，就不難寫出下面的代碼，注意在相乘的時(shí)候?yàn)榱朔乐拐蛿?shù)溢出，要將結(jié)果 res 定義為長(zhǎng)整型，參見(jiàn)代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long res = 1;
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; ++i) {
            res = res * i / (i - n);
        }
        return res / (n + 1);
    }
};

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