C++如何實現(xiàn)LeetCode兩個有序數(shù)組的中位數(shù)

這篇文章主要講解了“C++如何實現(xiàn)LeetCode兩個有序數(shù)組的中位數(shù)”，文中的講解內(nèi)容簡單清晰，易于學(xué)習(xí)與理解，下面請大家跟著小編的思路慢慢深入，一起來研究和學(xué)習(xí)“C++如何實現(xiàn)LeetCode兩個有序數(shù)組的中位數(shù)”吧！

[LeetCode] 4. Median of Two Sorted Arrays 兩個有序數(shù)組的中位數(shù)

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

這道題讓我們求兩個有序數(shù)組的中位數(shù)，而且限制了時間復(fù)雜度為 O(log (m+n))，看到這個時間復(fù)雜度，自然而然的想到了應(yīng)該使用二分查找法來求解。但是這道題被定義為 Hard 也是有其原因的，難就難在要在兩個未合并的有序數(shù)組之間使用二分法，如果這道題只有一個有序數(shù)組，讓求中位數(shù)的話，估計就是個 Easy 題。對于這道題來說，可以將兩個有序數(shù)組混合起來成為一個有序數(shù)組再做嗎，圖樣圖森破，這個時間復(fù)雜度限制的就是告訴你金坷垃別想啦。還是要用二分法，而且是在兩個數(shù)組之間使用，感覺很高端啊?；仡櫼幌轮形粩?shù)的定義，如果某個有序數(shù)組長度是奇數(shù)，那么其中位數(shù)就是最中間那個，如果是偶數(shù)，那么就是最中間兩個數(shù)字的平均值。這里對于兩個有序數(shù)組也是一樣的，假設(shè)兩個有序數(shù)組的長度分別為m和n，由于兩個數(shù)組長度之和 m+n 的奇偶不確定，因此需要分情況來討論，對于奇數(shù)的情況，直接找到最中間的數(shù)即可，偶數(shù)的話需要求最中間兩個數(shù)的平均值。為了簡化代碼，不分情況討論，使用一個小 trick，分別找第 (m+n+1) / 2 個，和 (m+n+2) / 2 個，然后求其平均值即可，這對奇偶數(shù)均適用。若 m+n 為奇數(shù)的話，那么其實 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相當(dāng)于兩個相同的數(shù)字相加再除以2，還是其本身。

好，這里需要定義一個函數(shù)來在兩個有序數(shù)組中找到第K個元素，下面重點來看如何實現(xiàn)找到第K個元素。首先，為了避免拷貝產(chǎn)生新的數(shù)組從而增加時間復(fù)雜度，使用兩個變量i和j分別來標(biāo)記數(shù)組 nums1 和 nums2 的起始位置。然后來處理一些 corner cases，比如當(dāng)某一個數(shù)組的起始位置大于等于其數(shù)組長度時，說明其所有數(shù)字均已經(jīng)被淘汰了，相當(dāng)于一個空數(shù)組了，那么實際上就變成了在另一個數(shù)組中找數(shù)字，直接就可以找出來了。還有就是如果 K=1 的話，只要比較 nums1 和 nums2 的起始位置i和j上的數(shù)字就可以了。難點就在于一般的情況怎么處理？因為需要在兩個有序數(shù)組中找到第K個元素，為了加快搜索的速度，可以使用二分法，那么對誰二分呢，數(shù)組么？其實要對K二分，意思是需要分別在 nums1 和 nums2 中查找第 K/2 個元素，注意這里由于兩個數(shù)組的長度不定，所以有可能某個數(shù)組沒有第 K/2 個數(shù)字，所以需要先 check 一下，數(shù)組中到底存不存在第 K/2 個數(shù)字，如果存在就取出來，否則就賦值上一個整型最大值（目的是要在 nums1 或者 nums2 中先淘汰 K/2 個較小的數(shù)字，判斷的依據(jù)就是看 midVal1 和 midVal2 誰更小，但如果某個數(shù)組的個數(shù)都不到 K/2 個，自然無法淘汰，所以將其對應(yīng)的 midVal 值設(shè)為整型最大值，以保證其不會被淘汰），若某個數(shù)組沒有第 K/2 個數(shù)字，則淘汰另一個數(shù)組的前 K/2 個數(shù)字即可。舉個例子來說吧，比如 nums1 = {3}，nums2 = {2, 4, 5, 6, 7}，K=4，要找兩個數(shù)組混合中第4個數(shù)字，則分別在 nums1 和 nums2 中找第2個數(shù)字，而 nums1 中只有一個數(shù)字，不存在第二個數(shù)字，則 nums2 中的前2個數(shù)字可以直接跳過，為啥呢，因為要求的是整個混合數(shù)組的第4個數(shù)字，不管 nums1 中的那個數(shù)字是大是小，第4個數(shù)字絕不會出現(xiàn)在 nums2 的前兩個數(shù)字中，所以可以直接跳過。

有沒有可能兩個數(shù)組都不存在第 K/2 個數(shù)字呢，這道題里是不可能的，因為K不是任意給的，而是給的 m+n 的中間值，所以必定至少會有一個數(shù)組是存在第 K/2 個數(shù)字的。最后就是二分法的核心啦，比較這兩個數(shù)組的第 K/2 小的數(shù)字 midVal1 和 midVal2 的大小，如果第一個數(shù)組的第 K/2 個數(shù)字小的話，那么說明要找的數(shù)字肯定不在 nums1 中的前 K/2 個數(shù)字，可以將其淘汰，將 nums1 的起始位置向后移動 K/2 個，并且此時的K也自減去 K/2，調(diào)用遞歸，舉個例子來說吧，比如 nums1 = {1, 3}，nums2 = {2, 4, 5}，K=4，要找兩個數(shù)組混合中第4個數(shù)字，那么分別在 nums1 和 nums2 中找第2個數(shù)字，nums1 中的第2個數(shù)字是3，nums2 中的第2個數(shù)字是4，由于3小于4，所以混合數(shù)組中第4個數(shù)字肯定在 nums2 中，可以將 nums1 的起始位置向后移動 K/2 個。反之，淘汰 nums2 中的前 K/2 個數(shù)字，并將 nums2 的起始位置向后移動 K/2 個，并且此時的K也自減去 K/2，調(diào)用遞歸即可，參見代碼如下：

C++ 解法一：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size(), left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(vector<int>& nums1, int i, vector<int>& nums2, int j, int k) {
        if (i >= nums1.size()) return nums2[j + k - 1];
        if (j >= nums2.size()) return nums1[i + k - 1];
        if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
        int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.size()) ? nums1[i + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.size()) ? nums2[j + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        if (midVal1 < midVal2) {
            return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
        } else {
            return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
        }
    }
};

Java 解法一：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {
        if (i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];
        if (j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];
        if (k == 1) return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
        int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        if (midVal1 < midVal2) {
            return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
        } else {
            return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
        }
    }
}

上面的解法一直使用的是原數(shù)組，同時用了兩個變量來分別標(biāo)記當(dāng)前的起始位置。我們也可以直接生成新的數(shù)組，這樣就不要用起始位置變量了，不過拷貝數(shù)組的操作可能會增加時間復(fù)雜度，也許會超出限制，不過就算當(dāng)個思路拓展也是極好的。首先要判斷數(shù)組是否為空，為空的話，直接在另一個數(shù)組找第K個即可。還有一種情況是當(dāng) K = 1 時，表示要找第一個元素，只要比較兩個數(shù)組的第一個元素，返回較小的那個即可。這里分別取出兩個數(shù)組的第 K/2 個數(shù)字的位置坐標(biāo)i和j，為了避免數(shù)組沒有第 K/2 個數(shù)組的情況，每次都和數(shù)組長度做比較，取出較小值。這里跟上面的解法有些許不同，上面解法直接取出的是值，而這里取出的是位置坐標(biāo)，但是思想都是很類似的。不同在于，上面解法中每次固定淘汰 K/2 個數(shù)字，而這里由于取出了合法的i和j，所以每次淘汰i或j個。評論區(qū)有網(wǎng)友提出，可以讓 j = k-i，這樣也是對的，可能還更好一些，收斂速度可能會更快一些，參見代碼如下：

C++ 解法二：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        return (findKth(nums1, nums2, (m + n + 1) / 2) + findKth(nums1, nums2, (m + n + 2) / 2)) / 2.0;
    }
    int findKth(vector<int> nums1, vector<int> nums2, int k) {
        if (nums1.empty()) return nums2[k - 1];
        if (nums2.empty()) return nums1[k - 1];
        if (k == 1) return min(nums1[0], nums2[0]);
        int i = min((int)nums1.size(), k / 2), j = min((int)nums2.size(), k / 2);
        if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
            return findKth(nums1, vector<int>(nums2.begin() + j, nums2.end()), k - j);
        } else {
            return findKth(vector<int>(nums1.begin() + i, nums1.end()), nums2, k - i);
        }
        return 0;
    }
};

Java 解法二：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, nums2, left) + findKth(nums1, nums2, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        if (m == 0) return nums2[k - 1];
        if (n == 0) return nums1[k - 1];
        if (k == 1) return Math.min(nums1[0], nums2[0]);
        int i = Math.min(m, k / 2), j = Math.min(n, k / 2);
        if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
            return findKth(nums1, Arrays.copyOfRange(nums2, j, n), k - j);
        } else {
            return findKth(Arrays.copyOfRange(nums1, i, m), nums2, k - i);
        }
    }
}

此題還能用迭代形式的二分搜索法來解，是一種相當(dāng)巧妙的應(yīng)用，這里就參照 stellari 大神的帖子 來講解吧。所謂的中位數(shù)，換一種角度去看，其實就是把一個有序數(shù)組分為長度相等的兩段，中位數(shù)就是前半段的最大值和后半段的最小值的平均數(shù)，也就是離分割點相鄰的兩個數(shù)字的平均值。比如說對于偶數(shù)個數(shù)組 [1 3 5 7]，那么分割開來就是 [1 3 / 5 7]，其中 '/' 表示分割點，中位數(shù)就是3和5的平均值。對于奇數(shù)個數(shù)組 [1 3 4 5 7]，可以分割為 [1 3 4 / 4 5 7]，可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊都有個4，則中位數(shù)是兩個4的平均數(shù)，還是4。這里使用L表示分割點左邊的數(shù)字，R表示分割點右邊的數(shù)字，則對于 [1 3 5 7] 來說，L=3，R=5。對于 [1 3 4 5 7] 來說，L=4，R=4。那么對于長度為N的數(shù)組來說，可以分別得到L和R的位置，如下所示：

N        Index of L        Index of R

1            0                0

2            0                1

3            1                1

4            1                2

5            2                2

6            2                3

7            3                3

觀察上表，可以得到規(guī)律，Idx(L)= (N-1)/2，idx(R) = N/2，所以中位數(shù)可以用下式表示：

(L + R) / 2 = (A[(N - 1) / 2] + A[N / 2]) / 2

為了統(tǒng)一數(shù)組長度為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，可以使用一個小 tricky，即在每個數(shù)字的兩邊都加上一個特殊字符，比如井號，這個 tricky 其實在馬拉車算法中也使用過。這樣做的好處是不管奇數(shù)或者偶數(shù)，加井號后數(shù)組的長度都是奇數(shù)，并且切割點的位置也是確定的，比如：

[1 3 5 7]    ->    [# 1 # 3 # 5 # 7 #]        N = 4

index               0 1 2 3 4 5 6 7 8         newN = 9

[1 3 4 5 7]    ->    [# 1 # 3 # 4 # 5 # 7 #]        N = 5

index                 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10        newN = 11

這里的N是原數(shù)組的長度，newN 是添加井號后新數(shù)組的長度，可以發(fā)現(xiàn) newN = 2N+1，而且切割點永遠都在新數(shù)組中坐標(biāo)為N的位置，且 idx(L) = (N-1)/2，idx(R) = N/2，這里的N就可以換成分割點的位置，豈不美哉（注意這里的 idx(L) 和 idx(R) 表示的是在未填充#號的坐標(biāo)位置）！現(xiàn)在假設(shè)有兩個數(shù)組：

[1 3 4 5 7]    ->    [# 1 # 3 # 4 # 5 # 7 #]        N1 = 5

index                 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10        newN1 = 11

[1 2 2 2]    ->    [# 1 # 2 # 2 # 2 #]        N2 = 4
index               0 1 2 3 4 5 6 7 8         newN2 = 9

跟只有一個數(shù)組的情況類似，這里需要找到一個切割點，使得其分別可以將兩個數(shù)組分成左右兩部分，需要滿足的是兩個左半邊中的任意一個數(shù)字都要小于兩個右半邊數(shù)組的數(shù)字，注意這里可能有的左半邊或右半邊會為空，但是兩個左半邊數(shù)字的個數(shù)和應(yīng)該等于兩個右半邊的個數(shù)和。這里還可以觀察出一些規(guī)律：

1. 總共有 2N1 + 2N2 + 2 個位置，那么除去兩個分割點，兩個左右半邊應(yīng)該各有 N1 + N2 個數(shù)字。

2. 因此，對于一個在 A2 數(shù)組中的分割點位置 C2 = K，在 A1 數(shù)組中的位置應(yīng)該為 C1 = N1 + N2 - K，比如假如在 A2 中的分割點位置為 C2 = 2，那么在 A1 中的位置為 C1 = 4 + 5 - C2 = 7。

[# 1 # 3 # 4 # (5/5) # 7 #]

[# 1 / 2 # 2 # 2 #]

3. 假如兩個數(shù)組都被分割了，那么就應(yīng)該會有兩個L和R，分別是：

L1 = A1[(C1 - 1) / 2]

R1 = A1[C1 / 2]

L2 = A2[(C2 - 1) / 2]
R2 = A2[C2 / 2]

對于上面的例子就有：

L1 = A1[(7 - 1) / 2] = A1[3] = 5

R1 = A1[7 / 2] = A1[3] = 5

L2 = A2[(2 - 1) / 2] = A2[0] = 1
R2 = A2[2 / 2] = A2[1] = 2

現(xiàn)在需要檢測這個切割點是否是正確的中位數(shù)的切割點，那么根據(jù)之前的分析，任意的左半邊的數(shù)字都需要小于等于右半邊的數(shù)字，L1 和 L2 是左半邊的最大的數(shù)字，R1 和 R2 是右半邊的最小的數(shù)字，所以需要滿足下列關(guān)系：

L1 <= R1 && L1 <= R2 && L2 <= R1 && L2 <= R2

由于兩個數(shù)組都是有序的，所以 L1 <= R1 和 L2 <= R2 都是滿足的，那么就只需要滿足下列的不等式即可：

L1 <= R2 && L2 <= R1

這樣的話就可以利用二分搜索了，假如 L1 > R2 的話，說明數(shù)組 A1 的左半邊的數(shù)字過大了，需要把切割點 C1 往左移動。假如 L2 > R1，說明數(shù)組 A2 的左半邊數(shù)字過大，需要把分割點 C2 左移。若滿足上面的條件，說明當(dāng)前切割點就是正確的，那么中位數(shù)就可以求出來了，即為：

(max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2

最后還有兩點注意事項：

1. 由于 C1 和 C2 是可以互相計算而得，即一個確定了，另一個就可以計算出來了。所以盡量去移動較短的那個數(shù)組，這樣得到的時間復(fù)雜度為 O(lg(min(N1, N2)))。

2. 對于 corner case 的處理，當(dāng)切割點在 0 或者 2n 的位置時，將L或R的值分別賦值為整型最小值和最大值，這不會改變正確的切割點的位置，會使得代碼實現(xiàn)更加方便。

C++ 解法三：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        if (n == 0) return ((double)nums1[(m - 1) / 2] + (double)nums1[m / 2]) / 2.0;
        int left = 0, right = n * 2;
        while (left <= right) {
            int mid2 = (left + right) / 2;
            int mid1 = m + n - mid2;
            double L1 = mid1 == 0 ? INT_MIN : nums1[(mid1 - 1) / 2];
            double L2 = mid2 == 0 ? INT_MIN : nums2[(mid2 - 1) / 2];
            double R1 = mid1 == m * 2 ? INT_MAX : nums1[mid1 / 2];
            double R2 = mid2 == n * 2 ? INT_MAX : nums2[mid2 / 2];
            if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
            else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
            else return (max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2;
        }
        return -1;
    }
};

Java 解法三：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        if (n == 0) return (nums1[(m - 1) / 2] + nums1[m / 2]) / 2.0;
        int left = 0, right = 2 * n;
        while (left <= right) {
            int mid2 = (left + right) / 2;
            int mid1 = m + n - mid2;
            double L1 = mid1 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums1[(mid1 - 1) / 2];
            double L2 = mid2 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums2[(mid2 - 1) / 2];
            double R1 = mid1 == m * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums1[mid1 / 2];
            double R2 = mid2 == n * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums2[mid2 / 2];
            if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
            else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
            else return (Math.max(L1, L2) + Math.min(R1, R2)) / 2;
        }
        return -1;
    }
}

感謝各位的閱讀，以上就是“C++如何實現(xiàn)LeetCode兩個有序數(shù)組的中位數(shù)”的內(nèi)容了，經(jīng)過本文的學(xué)習(xí)后，相信大家對C++如何實現(xiàn)LeetCode兩個有序數(shù)組的中位數(shù)這一問題有了更深刻的體會，具體使用情況還需要大家實踐驗證。這里是億速云，小編將為大家推送更多相關(guān)知識點的文章，歡迎關(guān)注！