如何理解數(shù)學(xué)上的閉包概念及與編程的關(guān)系

本篇內(nèi)容主要講解“如何理解數(shù)學(xué)上的閉包概念及與編程的關(guān)系”，感興趣的朋友不妨來看看。本文介紹的方法操作簡單快捷，實用性強。下面就讓小編來帶大家學(xué)習(xí)“如何理解數(shù)學(xué)上的閉包概念及與編程的關(guān)系”吧!

閉包到底是什么?

閉包在數(shù)學(xué)上是一個比較抽象的概念, 來自于抽象代數(shù), 因此這里不打算直接給出它的定義, 否則大家看了估計還是一頭霧水, 為便于理解, 還是先從具體的例子出發(fā), 最后才給出它的定義.

以加法在自然數(shù)集合中為例

我們先考察一個很簡單的例子, 就是加法在自然數(shù)集合中的操作及其結(jié)果.

首先, 自然數(shù)集這個很好理解, 就是0, 1, 2, 3..., 這些整數(shù)的集合, 當(dāng)然需要注意的一點是它是一個無窮的集合.

然后是加法這個操作, 我們也很熟悉, 它需要兩個操作數(shù), 從剛才的自然數(shù)集合中任意取出兩個數(shù), 然后執(zhí)行加法操作:

比如, 1 + 2, 3 + 5, 6 + 4 等等

然后這些加法操作會有一個結(jié)果, 比如 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 6 + 4 = 10 等等, 當(dāng)我們觀察這些結(jié)果, 比如 3, 8, 10 等等時, 不難發(fā)現(xiàn)它們也還是屬于自然數(shù)集合.

說到這里, 你可能會想, 這不是顯而易見的嘛, 感覺像是說了一堆廢話! 先別急著下定論.

至此, 我們就可以初步給出閉包的定義, 首先有一個集合(自然數(shù)集合), 然后有一個操作(加法操作), 這個操作需要集合中的兩個元素, 最后操作的結(jié)果仍然屬于這個集合.

因為結(jié)果仍然屬于這個集合, 我們就說, 自然數(shù)集合對于加法操作來說是封閉的(closed).

這個是針對結(jié)果來說的, 也就是無論你怎么操作來操作去, 結(jié)果都還在集合內(nèi), 有點孫悟空怎么翻筋斗也逃不出如來佛手掌心那種感覺.

自然數(shù)集合在加法這樣一種操作下是封閉的, 我們就說它滿足(satisfy)一種閉包性質(zhì)(clousre property).

更一般化的說, 一個集合被認(rèn)為是滿足一種閉包性質(zhì), 如果它在一個(或一系列)操作下是封閉的.

A set that is closed under an operation or collection of operations is said to satisfy a closure property.

另一個操作: 乘法

上面的定義涉及到一個或一系列操作, 下面就說說另一個操作, 比如乘法, 同樣還是自然數(shù)集合, 隨便取兩個數(shù), 然后乘起來:

比如, 2 × 3, 3 × 7, 5 × 4 等等.

然后也會有一個結(jié)果, 比如 2 × 3 = 6, 3 × 7 = 21, 5 × 4 = 20 等等, 當(dāng)我們觀察這些結(jié)果, 比如 6, 21, 20 等等時, 不難發(fā)現(xiàn)它們也還是屬于自然數(shù)集合.

因此, 根據(jù)前面的定義, 我們可以說, 自然數(shù)集合對于乘法操作來說也是封閉的(closed).

畢竟來說, 乘法在某種意識上講也是一種加法, 因此自然數(shù)集合對其封閉也就不難理解了.

自然數(shù)集合對于加法操作來說是封閉的(closed), 同時對于乘法操作來說也是封閉的(closed), 因此, 可以說它在一系列操作(加法及乘法)下都是封閉的.

也即是一個集合可以不僅對一個操作是封閉的, 它還可能對很多操作都是封閉的.

當(dāng)減法引入時

說完了加法和乘法, 估計有些同學(xué)已經(jīng)不耐煩了, 說, 這有啥稀奇的呢? 難道有什么操作是不封閉的嗎? 下面就來說說再另一個操作, 減法, 然后我們會發(fā)現(xiàn), 事情會有一些變化.

如果草率地去看, 還是針對自然數(shù)集合來說, 隨便取兩數(shù), 然后執(zhí)行減法操作:

比如, 3 - 2, 7 - 4, 5 - 1 等等;

然后也會有一個結(jié)果, 比如 3 - 2 = 1, 7 - 4 = 3, 5 - 1 = 4 等等, 當(dāng)我們觀察這些結(jié)果, 比如 1, 3, 4 等等時, 不難發(fā)現(xiàn)它們也還是屬于自然數(shù)集合.

從以上來看, 我們似乎也可以說, 自然數(shù)集合對于減法操作來說同樣也是封閉的(closed).

但只要我們多考察一些情形, 比如 2 - 4, 3 - 6 等等, 就會發(fā)現(xiàn), 不對勁了, 2 - 4 = -2, 3 - 6 = -3, 像 -2, -3 這些結(jié)果它們并不屬于自然數(shù)集合!

在古代, 人們的認(rèn)知能力還很弱時, 面對像 2 - 4 這么騷氣的操作時, 干脆就像鴕鳥把頭埋進沙子里一樣, 對其視而不見了, 人們認(rèn)為這樣的操作是沒有意義的!

于是, 自然數(shù)集合對于減法操作來說并不是封閉的. 但如果我們擴大自然數(shù)集合, 變成整數(shù)集合, 它包含了負(fù)整數(shù)集合, 0 和 正整數(shù)集合.

這時候, 對于一個整數(shù)集合而言, 則無論你怎么去取數(shù)進行減法操作, 結(jié)果總是還在這個整數(shù)集合中.

又一次的, 孫悟空怎么翻筋斗也逃不出如來佛手掌心, 這是個更大的手掌心!

于是, 雖然自然數(shù)集合在減法的操作下不是封閉的, 但一旦擴大到整數(shù)集合, 我們又可以說, 整數(shù)集合對于減法操作是封閉的.

另一種情形則是, 對一個有限的集合而言, 比如只有一個元素 0 的集合, 表示為 { 0 }, 我們也照樣可以說, 它對于加法, 乘法和減法都是封閉的, 因為 0 + 0 = 0, 0 × 0 = 0, 0 - 0 = 0, 結(jié)果無論怎么搞都還是 0, 因此也是封閉的. 這個例子中沒有擴大集合的范圍, 甚至是相反, 縮小了集合的范圍, 也能得出封閉的性質(zhì), 當(dāng)然這就屬于比較特殊的情況了.

閉包的另一種定義

前面提到的一個閉包的定義是指集合滿足的一種閉包性質(zhì), 對于閉包還有另外一種定義.

當(dāng)一個集合 S 在某些操作下不是封閉的,

比如自然數(shù)集合對于減法操作不是封閉的.

我們可以找到一個包含 S 的最小集合使得操作是封閉的,

比如, 可以找到 整數(shù)集合 這個包含 自然數(shù)集合 的最小集合, 它對于減法操作是封閉的.

那么, 這個最小的集合就叫做 S 集合(針對那些操作而言)的閉包(closure).

整數(shù)集合就是自然數(shù)集合(針對減法操作而言)的閉包.

具體的英文定義如下:

When a set S is not closed under some operations, one can usually find the smallest set containing S that is closed. This smallest closed set is called the closure of S (with respect to these operations)

這個定義跟閉包性質(zhì)的定義有差異, 但兩者還是有緊密關(guān)系的, 只不過是說法的側(cè)重點不同, 但都是圍繞著操作結(jié)果的封閉性去說的.

當(dāng)操作繼續(xù)增加

整數(shù)集合對于加法, 乘法和減法都是封閉的, 但如果繼續(xù)引入其它操作, 比如除法, 那么新的問題又會來了, 雖然像 6 ÷ 2, 10 ÷ 5 等整除的情形, 結(jié)果還在集合中, 但更多的諸如 2 ÷ 3, 5 ÷ 8 結(jié)果就不在集合里面了.

此時如果想讓除法操作封閉, 還得繼續(xù)擴展集合到比如有理數(shù)集合.

此外還得施加一個限制, 除數(shù)還不能為 0.

而對于有理數(shù)集合, 當(dāng)繼續(xù)擴大操作時, 比如引入了開方運算, 很多結(jié)果又不是封閉的了, 這時得擴大到無理數(shù)集合; 而即便是到了無理數(shù)集合, 對于負(fù)數(shù)的開平方依然是束手無策的, 這時就需要進一步的擴大到復(fù)數(shù)集合了...

顯然的, 當(dāng)引入越來越多的操作, 想繼續(xù)的保持封閉性就很困難了.

在編程中的應(yīng)用

至此, 我們已經(jīng)說完了數(shù)學(xué)上的閉包這一概念, 自然也只是蜻蜓點水地說一下, 讓大家有個概念而已, 更深的咱們也不懂, 也不打算去涉及, 畢竟太艱深了.

通過以上的介紹, 相信大家對數(shù)學(xué)上的閉包這一概念多少也有了一些了解, 但很多人可能會問, 去知道這些干啥呢? 對我們編程似乎也沒啥用. 而前面一開始也說了, 這里談的閉包還不是編程界通常談?wù)摰哪莻€閉包, 那這里談?wù)摰倪@個數(shù)學(xué)上的閉包對于我們的編程語言到底有什么影響呢?

怎么說好呢, 要說沒有影響恐怕是不可能的, 但如果說有多少大的影響恐怕很多人又不認(rèn)同了, 問題就在于這些影響往往是非?；A(chǔ)性的, 以至于我們不覺得這算什么影響.

舉個非常簡單的例子, 我們在編程中很可能隨手就寫出了這樣的表達式:

2 + 4 + 5

而從不去問到底為什么, 甚至說這為什么是可能的, 我們覺得這些似乎是天經(jīng)地義, 不值一提的.

但從閉包的角度去看, 2 + 4 + 5 之所以成為可能, 是因為 2 + 4 的結(jié)果仍然屬于集合之內(nèi), 才因此可以繼續(xù)參與下一次的操作.

當(dāng)我們例舉另外的例子, 比如另一個表達式:

(3 > 2) + 1

情況就有點微妙了. 對于有些編程語言而言, 這樣的操作仍然是可行的, 但其實是因為包含了一種隱式的轉(zhuǎn)換; 而對于另外的一些編程語言來說, 這可能就是語法錯誤了.

從閉包的角度去看, 3 > 2 這個操作的結(jié)果并不屬于數(shù)的集合, 而是一個只有兩個有限元素的 boolean 集合: {true, false}.

因為這個操作的結(jié)果并不是一個數(shù), 所以后續(xù)的操作其實就沒有意義了.

比如 true + 1, 或者是 false + 1 都是沒有意義的了.

有些編程語言之所以能夠繼續(xù)操作下去, 是因為內(nèi)部做了隱式轉(zhuǎn)換, 比如把 true 轉(zhuǎn)為 1, false 變?yōu)?0, 所以繼續(xù)執(zhí)行的其實是 1 + 1 或者 0 + 1.

有些語言限制會比較嚴(yán)格, 比如 java, 你寫這樣的語句是要報錯的:

if (age = 60) {
    // 可以退休了
}

這里的一個陷阱就是, 單個的等號是一個賦值的操作, 而不是比較, 比較是用兩個等號 == 這樣:

if (age == 60) {
    // 可以退休了
}

這樣寫的 java 程序才能編譯通過, 但有的語言兩種寫法都能編譯, 但第一種情況實際會變成:

if (60) {
    // 可以退休了
}

但 if 其實要求的是一個 boolean 集合的操作數(shù), 而此刻會執(zhí)行一次轉(zhuǎn)換, 一般而言, 0 會轉(zhuǎn)成 false, 其它則是 true, 所以 60 就轉(zhuǎn)換為 true, 最后語句實質(zhì)變成了:

if (true) {
    // 可以退休了
}

這樣一來, 整個判斷就完全多余了, 結(jié)果總是為真, 里面的語句始終都能執(zhí)行, 在很多情況下, 這就是一個程序的 bug 了.

可見, 不嚴(yán)格的遵循閉包性質(zhì)可能會給我們帶來麻煩; 另一方面, 設(shè)計良好的閉包性質(zhì)有可能帶給我們便利.

比如說, 有的語言允許數(shù)組的元素還可以是數(shù)組, 這就給很多的操作帶來了很多方便, 這其實是閉包性質(zhì)的一個體現(xiàn).

而有的語言則不允許這樣, 數(shù)組的元素只能是其它元素, 但不能是數(shù)組, 這就削弱了語言的表達能力, 進而在編程中給我們帶來不便.

又比如, 對于很多語言來說, 對象的屬性可以繼續(xù)是對象, 又或者說, map 的元素還可以是另一個 map, 這樣一來, 我們就可以嵌套地表達很多復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 而對它們的操作又可以比較簡化, 因為操作的結(jié)果還在集合內(nèi), 就可以反復(fù)運用同一種操作去操作它.

舉個例子來說, 一顆樹的節(jié)點可以是一個葉子節(jié)點, 還還可以是一棵子樹, 對于文件夾及里面的文件及(或)文件夾而言就是這么一種情形, 因此可以用同一個操作遞歸地遍歷所有的節(jié)點.

而上述這些, 往深了說, 其實都是都是閉包性質(zhì)的體現(xiàn), 因為這些性質(zhì)的存在, 才使得這些成為可能.

對于我們的編程實踐來說, 某種組合數(shù)據(jù)對象的操作滿足閉包性質(zhì), 那就是說,通過它組合起數(shù)據(jù)對象得到的結(jié)果本身還可以通過同樣的操作再進行組合.

閉包性質(zhì)是任何一種組合功能的威力的關(guān)鍵要素, 因為它使我們能夠建立起層次性的結(jié)構(gòu), 這種結(jié)構(gòu)由一些部分構(gòu)成, 而其中的各個部分又是由它們的部分構(gòu)成, 并且可以如此繼續(xù)下去.

到此，相信大家對“如何理解數(shù)學(xué)上的閉包概念及與編程的關(guān)系”有了更深的了解，不妨來實際操作一番吧！這里是億速云網(wǎng)站，更多相關(guān)內(nèi)容可以進入相關(guān)頻道進行查詢，關(guān)注我們，繼續(xù)學(xué)習(xí)！