web算法復(fù)雜度怎么理解

本篇內(nèi)容介紹了“web算法復(fù)雜度怎么理解”的有關(guān)知識，在實際案例的操作過程中，不少人都會遇到這樣的困境，接下來就讓小編帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)一下如何處理這些情況吧！希望大家仔細(xì)閱讀，能夠?qū)W有所成！

算法學(xué)（Algorithmics）是設(shè)計和研究算法的科學(xué)，它的歷史可比計算機科學(xué)的歷史久遠(yuǎn)多了，但今天算法學(xué)卻幾乎全由計算機科學(xué)家實踐。

算法學(xué)是一個非常廣泛的領(lǐng)域，需要不少數(shù)學(xué)知識。當(dāng)然了，并非所有計算機科學(xué)家都需要成為天才的算法學(xué)家。從算法的角度來看，大多數(shù)程序員面臨的問題實際上非常簡單。

但我們有時需要實現(xiàn)一些更復(fù)雜的東西。在這種情況下，算法方面的基本知識就會顯得非常有用。我們并不要求你發(fā)明一種革命性的新算法并給出其復(fù)雜度的具體證明，但為了能夠準(zhǔn)確地使用那些在網(wǎng)絡(luò)上或軟件庫中找到的算法，還是有必要接受一下“基礎(chǔ)培訓(xùn)”的。

懂算法會讓你更有效率，能夠更好地理解你所要解決的問題，也不會寫出不規(guī)范的代碼：有一些代碼盡管可以正常運行，但從算法的角度來看卻是不合理的。一個經(jīng)驗不豐富的程序員可能會直接使用這些不合格的算法（他會想：“代碼能運行，所以應(yīng)該沒什么問題”），但你因為懂算法，就能很快發(fā)現(xiàn)代碼的問題，并改寫出一個優(yōu)秀得多的版本。

聽我說了這些，你可能有點躍躍欲試了。下面是兩個簡單的對于算法復(fù)雜度的研究題，它們可以讓你更準(zhǔn)確地了解算法復(fù)雜度的作用。

尋找最大和最小的元素

問題 1：有一個正整數(shù)列表，我們想要找到列表中最大的整數(shù)。

這個問題的經(jīng)典解法如下：遍歷此列表，并一直保存迄今為止發(fā)現(xiàn)的最大元素，稱其為“當(dāng)前最大值”。

我們可以將此算法描述為：

一開始，“當(dāng)前最大值”等于 0。我們用列表中每一個元素去和“當(dāng)前最大值”做比較，如果當(dāng)前遍歷到的元素比“當(dāng)前最大值”更大，則將“當(dāng)前最大值”設(shè)為當(dāng)前元素的值。在遍歷完整個列表后，“當(dāng)前最大值”就真的“實至名歸”了。

下面我們給出此算法的一種實現(xiàn)，是用“世界上最好的編程語言” PHP 來實現(xiàn)的（當(dāng)然，你也可以用其他編程語言來實現(xiàn)）：

<?php
function max($list) {
   $current_max = 0;
   foreach ($list as $item)
       if ($item > $current_max)
           $current_max = $item;
   return $current_max;
}
?>

我們可以快速驗證此算法是正確的：我們只需要確認(rèn)在此算法執(zhí)行時，“當(dāng)前最大值”總是等于到目前為止所遍歷到的列表元素里最大的那個值。

我們也注意到此算法是會“結(jié)束”的，它不會陷入無限循環(huán)：此算法遍歷完整個列表，然后停止。這看起來像一個不重要的細(xì)節(jié)，但實際上有一些編程語言里是可以表示無限多元素的列表的：在這種情況下，我們的算法是不正確的。

現(xiàn)在讓我們研究此算法的復(fù)雜度。我們要考慮哪些操作呢？顯然，大部分工作都在于將當(dāng)前元素與“當(dāng)前最大值”進行比較（畢竟，“當(dāng)前最大值” current_max 的初始化（初始化為 0）并不占多少運行時間），因此我們計算“比較操作”的次數(shù)，將其作為此算法的操作數(shù)。

算法的執(zhí)行時間取決于哪些參數(shù)呢？可以想見，執(zhí)行時間并不依賴于列表中每個元素的值（在此，我們假設(shè)兩個整數(shù)的比較時間是恒定的，不論它們的值是多少）。因此，我們用元素列表的長度 N 來量化輸入。

對于一個包含 N 個元素的列表，我們要進行 N 次比較：每個元素都與“當(dāng)前最大值”進行一次比較。因此，算法的時間復(fù)雜度是 O(N)：它的執(zhí)行時間是呈線性的，與列表的元素數(shù)目 N 成正比。

那么，此算法的空間復(fù)雜度是多少呢？此算法使用了一個列表，里面的元素占用了一定的內(nèi)存空間。但是，這個列表在我們查找其最大元素之前就已經(jīng)存在了，它所占用的內(nèi)存空間并不是由我們的算法分配的，因此我們說此列表的元素數(shù)目 N 并不會被考慮到算法的空間復(fù)雜度的計算中，我們只考慮由我們的算法直接申請的內(nèi)存。

而我們的算法直接申請的內(nèi)存空間幾乎可以忽略不計，因為最多就是占用了一個臨時變量（current_max），用以存儲“當(dāng)前最大值”。因此，我們的算法所占用的內(nèi)存空間不依賴于列表的長度： （我們將空間復(fù)雜度記為 O(1)，表示它不依賴于 N）。

對于我們的算法，現(xiàn)在只剩下一個小細(xì)節(jié)要注意了：如果我們的列表是空的，那么返回的最大值將是 0。要說“一個空的列表的最大值是 0” 顯然不一定是正確的：在某些情況下，如果列表是空的，最好返回一個錯誤。

因此我們可以改進一下我們的算法：我們不再為“當(dāng)前最大值”賦初值為 0，而是以列表的第一個元素（如果該列表為空，則返回一個錯誤）作為“當(dāng)前最大值”的初始值。然后，我們從第二個元素開始比較。

經(jīng)過改進后的算法執(zhí)行 N-1 次比較（因為我們不必將第一個元素與它自己進行比較）。不過，這并沒有改變算法的時間復(fù)雜度：N 和 N-1 之間的時間差并不依賴于 N，它是恒定的，因此我們可以忽略它：兩種算法具有相同的時間復(fù)雜度，它們都是時間線性的（時間復(fù)雜度是 O(N) ）。

最后，我們注意到第二個算法也適用于負(fù)數(shù)（如果列表的所有元素都是負(fù)數(shù)，第一個算法會返回 0，這顯然不正確）。因此改良后的第二個算法更通用，也更好。

當(dāng)然了，查找列表中最小值的算法和查找最大值是類似的，我們就不贅述了。

尋找不重復(fù)的元素

現(xiàn)在我們來看第 2 個問題。

問題 2：有一個列表 1，其中包含重復(fù)項（多次出現(xiàn)的元素）：我們想要構(gòu)建一個包含與列表 1 相同元素的列表 2，但是列表 2 中每個元素只重復(fù)出現(xiàn)一次。

例如，列表 1 里有以下元素：

AABCDBCA

則列表 2 將包含以下元素：

ABCD

你想到解決這個問題的算法了嗎？在閱讀我的解決方案之前，請自己思考一下。

我的解決方案

我的算法如下：

對于給定的包含重復(fù)元素的列表 L，我們要構(gòu)建一個新的列表 U（取英語 Unique（“獨一無二的”）的第一個字母），列表 U 一開始是空的，我們需要往里面填充元素。我們遍歷列表 L，對于列表 L 中的每一個元素，我們確認(rèn)一下它是否存在于列表 U 中（可以用與之前的查找最大元素類似的算法，畢竟就是逐一比較元素嘛）。如果列表 L 中遍歷到的元素還不在列表 U 中，就將這個元素添加進列表 U 中；如果已經(jīng)存在于列表 U 中，就不添加。遍歷完列表 L 后，列表 U 中就擁有了和列表 L 相同的元素，只是這些元素都是不重復(fù)出現(xiàn)的。

練習(xí)： 使用你喜歡的編程語言來實現(xiàn)上述從列表中提取不重復(fù)元素的算法。

復(fù)雜度

這個算法的復(fù)雜度是多少？如果你充分理解了之前查找列表最大值的算法的復(fù)雜度的計算，那么這對你來說應(yīng)該很簡單。

對于給定列表 L 中的每個元素，我們都會執(zhí)行遍歷列表 U 的操作，因此執(zhí)行的操作數(shù)與列表 U 包含的元素數(shù)目有關(guān)。

但問題是：列表 U 的大小在遍歷給定列表 L 的過程中會發(fā)生變化，因為我們會添加元素進列表 U。當(dāng)我們遍歷到列表 L 中的第一個元素時，列表 U 還是空的（因此我們不執(zhí)行任何比較操作）；當(dāng)我們遍歷到列表 L 的第二個元素時，列表 U 有 1 個元素，所以我們要再執(zhí)行一個比較操作。

但是當(dāng)我們遍歷到列表 L 中的第三個元素時，我們就變得不是那么肯定了：如果列表 L 中的前兩個元素是不相同的，它們都被添加到 U 中，在這種情況下我們要執(zhí)行 2 次比較操作（將列表 L 中的第三個元素分別與列表 U 中的兩個元素作比較）；如果前兩個元素是相同的，那么列表 L 中的第二個元素就沒有被添加到列表 U 中，只執(zhí)行 1 次比較操作。

正如我們的課程里已經(jīng)說過的，復(fù)雜度的計算需要考慮在“最壞的情況”（worst case）下：也就是執(zhí)行的操作數(shù)目最多時的復(fù)雜度。因此，我們將認(rèn)為給定列表 L 的所有元素都是不相同的。

在“最壞的情況”下，我們將給定列表 L 的所有元素逐一添加進列表 U 中。假設(shè)給定列表 L 一共有 N 個元素，在遍歷到給定列表 L 的第 N 個元素時，我們已經(jīng)向列表 U 添加了 (N-1) 個元素了，因此這時要做 (N-1) 次比較操作。

所以我們總共要做的比較操作數(shù)是 0 + 1 + 2 + … + (N-1) 。開始時的操作數(shù)少，越到后面做的操作越多（有點像人生，出生時責(zé)任比較少，慢慢地責(zé)任越來越大，要處理的事情也越來越多，不過也說明你在成長，畢竟“能者多勞”）。

上面這一串?dāng)?shù)字相加，得到的總操作數(shù)是 N * (N - 1) / 2（這個不難，是數(shù)學(xué)里面的等差數(shù)列求和公式），由于我們在計算復(fù)雜度時考慮的是 N 很大的情況，上面的結(jié)果可以約等于 N * N / 2，即 N2 / 2 個操作。

因此，我們的算法具有 O(N2) 的時間復(fù)雜度（我們?nèi)コ顺?shù)因子 1/2）。我們也可以稱 O(N2) 為“二次/平方”的復(fù)雜度（正如我們稱 O(N) 具有“線性”的復(fù)雜度）。

與之前那個查找最大元素的算法比起來，現(xiàn)在這個算法除了速度較慢（時間復(fù)雜度較高）之外，還具有更高的空間復(fù)雜度：我們構(gòu)建了一個最初不存在的列表 U（因此申請了內(nèi)存空間）。

在最壞的情況下，列表 U 還具有與給定列表 L 一樣多的元素：因此將為 N 個元素分配空間，這使得空間復(fù)雜度為 O(N)。之前查找最大元素的算法的空間復(fù)雜度是恒定的（O(1)），但現(xiàn)在這個算法的空間復(fù)雜度卻是線性的（O(N)）。

該算法只需要比較元素，因此被操作的元素并不一定要是整數(shù)：我們可以用相同的算法來消除單詞列表中重復(fù)的單詞，重復(fù)的浮點數(shù)，等等。因此，許多算法是與使用的元素的具體類型無關(guān)的。

尋找不重復(fù)的元素：另一種方法

尋找不重復(fù)的元素，其實還有另一種算法（聰明如你可能也想到了）：我們可以先對給定列表 L 中的元素進行排序，使得所有重復(fù)的元素都相鄰，這樣排除重復(fù)元素將變得很簡單。

比如給定列表 L 初始是這樣的：

AABCDBCA

我們可以在構(gòu)建列表 U 前，先對列表 L 進行排序，使其變成下面這樣：

AAABBCCD

這樣，我們之后構(gòu)建列表 U 的算法就簡單了。

算法如下：只需遍歷排序后的列表 L，并記住最近一次遍歷到的那個元素。如果當(dāng)前元素與前一個元素相同，則這個元素是重復(fù)的，就不要把它包含在不重復(fù)元素的列表 U 中。

如果重復(fù)的元素彼此不相鄰，則上述算法不再有效。因此我們必須先對列表進行排序。

這個新的算法的時間復(fù)雜度是什么？消除重復(fù)是在列表的單次遍歷中完成的，因此是線性的（ O(N)）。但由于我們必須先對列表進行排序，因此第一步排序的操作也必須被考慮進這種新算法的總復(fù)雜度中。

當(dāng)然了，在這里提到列表的排序還稍微有一些太早了，因為我們在之后的課程里才會講到排序算法。

盡管目前我們還沒有學(xué)習(xí)排序算法和它們的復(fù)雜度，但我還是想說一下這個新算法的復(fù)雜度問題。

事實證明，這種算法的復(fù)雜度取決于排序的復(fù)雜度：因為，排序基本上會執(zhí)行 N2 個操作，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過我們之后的構(gòu)建列表 U 時的 N 個操作，所以整體復(fù)雜度是 O(N2)。

然而，也存在更高端的排序算法，雖然仍然執(zhí)行多于 N 個操作，但比 N2 要少得多。

我們將在之后的課程里學(xué)習(xí)排序算法，目前你只需要知道這個多了一步排序的新算法比舊算法更有效，也更“高級”。

“在列表中搜索指定元素”與“找出列表中最大/小值的元素”是非常相似的算法，都是線性時間的（算法的時間復(fù)雜度是 O(N)），空間復(fù)雜度都是 O(1)。

消除列表中的重復(fù)元素的算法更復(fù)雜一些，因為最簡單的算法在時間上具有平方的時間復(fù)雜度（O(N2)），其空間復(fù)雜度具有線性（O(N)）。

我希望這些更具體的研究能讓你確信算法學(xué)和算法復(fù)雜度還是很有用的?，F(xiàn)在你也應(yīng)該已經(jīng)習(xí)慣“算法”，“時間復(fù)雜度”，“空間復(fù)雜度”這些基本概念了。

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