Python學(xué)習(xí)教程：5個你一定要知道的圖算法，附Python代碼

相信大家已經(jīng)對 Pandas 或 SQL 等其他關(guān)系數(shù)據(jù)庫非常熟悉了。我們習(xí)慣于將行中的用戶視為列。但現(xiàn)實世界的表現(xiàn)真的如此嗎？

在互聯(lián)世界中，用戶不能被視為獨(dú)立實體。他們之間具有一定的關(guān)系，在構(gòu)建機(jī)器學(xué)習(xí)模型時，有時也希望包含這樣的關(guān)系。

在關(guān)系型數(shù)據(jù)庫中，我們無法在不同的行（用戶）之間使用這種關(guān)系，但在圖形數(shù)據(jù)庫中，這樣做是相當(dāng)簡單的。 在這篇Python學(xué)習(xí)教程中將為大家介紹一些重要的圖算法，以及Python 的代碼實現(xiàn)。

1、連通分量

具有三個連通分量的圖

將上圖中的連通分量算法近似看作一種硬聚類算法，該算法旨在尋找相關(guān)數(shù)據(jù)的簇類。舉一個具體的例子：假設(shè)擁有連接世界上任意城市的路網(wǎng)數(shù)據(jù)，我們需要找出世界上所有的大陸，以及它們所包含的城市。我們該如何實現(xiàn)這一目標(biāo)呢？

基于BFS / DFS的連通分量算法能夠達(dá)成這一目的，接下來，我們將用 Networkx 實現(xiàn)這一算法。

代碼

使用 Python 中的 Networkx 模塊來創(chuàng)建和分析圖數(shù)據(jù)庫。如下面的示意圖所示，圖中包含了各個城市和它們之間的距離信息。

示意圖

首先創(chuàng)建邊的列表，列表中每個元素包含兩個城市的名稱，以及它們之間的距離。

edgelist = [['Mannheim', 'Frankfurt', 85], ['Mannheim', 'Karlsruhe', 80], ['Erfurt', 'Wurzburg', 186], ['Munchen', 'Numberg', 167], ['Munchen', 'Augsburg', 84], ['Munchen', 'Kassel', 502], ['Numberg', 'Stuttgart', 183], ['Numberg', 'Wurzburg', 103], ['Numberg', 'Munchen', 167], ['Stuttgart', 'Numberg', 183], ['Augsburg', 'Munchen', 84], ['Augsburg', 'Karlsruhe', 250], ['Kassel', 'Munchen', 502], ['Kassel', 'Frankfurt', 173], ['Frankfurt', 'Mannheim', 85], ['Frankfurt', 'Wurzburg', 217], ['Frankfurt', 'Kassel', 173], ['Wurzburg', 'Numberg', 103], ['Wurzburg', 'Erfurt', 186], ['Wurzburg', 'Frankfurt', 217], ['Karlsruhe', 'Mannheim', 80], ['Karlsruhe', 'Augsburg', 250],["Mumbai", "Delhi",400],["Delhi", "Kolkata",500],["Kolkata", "Bangalore",600],["TX", "NY",1200],["ALB", "NY",800]]

然后，使用 Networkx 創(chuàng)建圖：

g = nx.Graph()
for edge in edgelist:
 g.add_edge(edge[0],edge[1], weight = edge[2])

現(xiàn)在，我們想從這張圖中找出不同的大陸及其包含的城市。我們可以使用使用連通分量算法來執(zhí)行此操作：

for i, x in enumerate(nx.connected_components(g)):
 print("cc"+str(i)+":",x)
cc0: {'Frankfurt', 'Kassel', 'Munchen', 'Numberg', 'Erfurt', 'Stuttgart', 'Karlsruhe', 'Wurzburg', 'Mannheim', 'Augsburg'}
cc1: {'Kolkata', 'Bangalore', 'Mumbai', 'Delhi'}
cc2: {'ALB', 'NY', 'TX'}

從結(jié)果中可以看出，只需使用邊緣和頂點，我們就能在數(shù)據(jù)中找到不同的連通分量。 該算法可以在不同的數(shù)據(jù)上運(yùn)行，以滿足前文提到的兩種其他運(yùn)用。

應(yīng)用：

零售：很多客戶使用大量賬戶，可以利用連通分量算法尋找數(shù)據(jù)集中的不同簇類。假設(shè)使用相同信用卡的客戶 ID 存在連邊（edges），或者將該條件替換為相同的住址，或者相同的電話等。一旦我們有了這些連接的邊，就可以使用連通分量算法來對客戶 ID 進(jìn)行聚類，并對每個簇類分配一個家庭 ID。然后，通過使用這些家庭 ID，我們可以根據(jù)家庭需求提供個性化建議。此外，通過創(chuàng)建基于家庭的分組功能，我們還能夠提高分類算法的性能。

財務(wù)：我們可以利用這些家庭 ID 來識別金融欺詐。如果某個賬戶曾經(jīng)有過欺詐行為，那么它的關(guān)聯(lián)帳戶很可能發(fā)生欺詐行為。

2、最短路徑

繼續(xù)第一節(jié)中的例子，我們擁有了德國的城市群及其相互距離的圖表。為了計算從法蘭克福前往慕尼黑的最短路徑，我們需要用到 Dijkstra 算法。Dijkstra 是這樣描述他的算法的：

從鹿特丹到格羅寧根的最短途徑是什么？或者換句話說：從特定城市到特定城市的最短路徑是什么？這便是最短路徑算法，而我只用了二十分鐘就完成了該算法的設(shè)計。 一天早上，我和未婚妻在阿姆斯特丹購物，我們逛累了，便在咖啡館的露臺上喝了一杯咖啡。而我，就想著我能夠做到這一點，于是我就設(shè)計了這個最短路徑算法。正如我所說，這是一個二十分鐘的發(fā)明。事實上，它發(fā)表于1959年，也就是三年后。它之所以如此美妙，其中一個原因在于我沒有用鉛筆和紙張就設(shè)計了它。后來我才知道，沒有鉛筆和紙的設(shè)計的一個優(yōu)點就是，你幾乎被迫避免所有可避免的復(fù)雜性。最終，這個算法讓我感到非常驚訝，而且也成為了我名聲的基石之一?！狤dsger Dijkstra于2001年接受ACM通訊公司 Philip L. Frana 的采訪時的回答

代碼

print(nx.shortest_path(g, 'Stuttgart','Frankfurt',weight='weight'))
print(nx.shortest_path_length(g, 'Stuttgart','Frankfurt',weight='weight'))
['Stuttgart', 'Numberg', 'Wurzburg', 'Frankfurt']
503

使用以下命令可以找到所有對之間的最短路徑：

for x in nx.all_pairs_dijkstra_path(g,weight='weight'):
 print(x)
('Mannheim', {'Mannheim': ['Mannheim'], 'Frankfurt': ['Mannheim', 'Frankfurt'], 'Karlsruhe': ['Mannheim', 'Karlsruhe'], 'Augsburg': ['Mannheim', 'Karlsruhe', 'Augsburg'], 'Kassel': ['Mannheim', 'Frankfurt', 'Kassel'], 'Wurzburg': ['Mannheim', 'Frankfurt', 'Wurzburg'], 'Munchen': ['Mannheim', 'Karlsruhe', 'Augsburg', 'Munchen'], 'Erfurt': ['Mannheim', 'Frankfurt', 'Wurzburg', 'Erfurt'], 'Numberg': ['Mannheim', 'Frankfurt', 'Wurzburg', 'Numberg'], 'Stuttgart': ['Mannheim', 'Frankfurt', 'Wurzburg', 'Numberg', 'Stuttgart']})
('Frankfurt', {'Frankfurt': ['Frankfurt'], 'Mannheim': ['Frankfurt', 'Mannheim'], 'Kassel': ['Frankfurt', 'Kassel'], 'Wurzburg': ['Frankfurt', 'Wurzburg'], 'Karlsruhe': ['Frankfurt', 'Mannheim', 'Karlsruhe'], 'Augsburg': ['Frankfurt', 'Mannheim', 'Karlsruhe', 'Augsburg'], 'Munchen': ['Frankfurt', 'Wurzburg', 'Numberg', 'Munchen'], 'Erfurt': ['Frankfurt', 'Wurzburg', 'Erfurt'], 'Numberg': ['Frankfurt', 'Wurzburg', 'Numberg'], 'Stuttgart': ['Frankfurt', 'Wurzburg', 'Numberg', 'Stuttgart']})
....

應(yīng)用

• Dijkstra 算法的變體在 Google 地圖中廣泛使用，用于計算最短的路線。
• 想象身處在沃爾瑪商店，我們知道了各個過道之間的距離，我們希望為從過道 A 到過道 D 的客戶提供最短路徑。

• 如下圖所示，當(dāng)我們知道了領(lǐng)英中用戶的一級連接、二級連接時，如何得知幕后的信息呢？Dijkstra 算法可以幫到我們。

3、最小生成樹

假設(shè)我們在水管工程公司或互聯(lián)網(wǎng)光纖公司工作，我們需要使用最少的電線（或者管道）連接圖表中的所有城市。我們?nèi)绾巫龅竭@一點？

無向圖和它的最小生成樹

代碼

# nx.minimum_spanning_tree(g) returns a instance of type graph
nx.draw_networkx(nx.minimum_spanning_tree(g))

使用最小生成樹算法鋪設(shè)電線

應(yīng)用

• 最小生成樹在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計中有著最直接的應(yīng)用，包括計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，電信網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，供水網(wǎng)絡(luò)和電網(wǎng)。（最小生成樹最初就是為此發(fā)明的）
• 最小生成樹可用于求解旅行商問題的近似解
• 聚類——首先構(gòu)造最小生成樹，然后使用類間距離和類內(nèi)距離來設(shè)定閾值，從而破壞最小生成樹中的某些連邊，最終完成聚類的目的
• 圖像分割——首先在圖形上構(gòu)建最小生成樹，其中像素是節(jié)點，像素之間的距離基于某種相似性度量（例如顏色，強(qiáng)度等），然后進(jìn)行圖的分割。

4、網(wǎng)頁排序（Pagerank）

Pagerank 是為谷歌提供長期支持的頁面排序算法。根據(jù)輸入和輸出鏈接的數(shù)量和質(zhì)量，該算法對每個頁面進(jìn)行打分。

代碼

在本節(jié)中，我們將使用 Facebook 數(shù)據(jù)。首先，利用 Facebook 用戶之間的連接，我們使用以下方法創(chuàng)建圖：

# reading the dataset
fb = nx.read_edgelist('../input/facebook-combined.txt', create_using = nx.Graph(), nodetype = int)

將圖進(jìn)行可視化：

pos = nx.spring_layout(fb)
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
plt.style.use('fivethirtyeight')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (20, 15)
plt.axis('off')
nx.draw_networkx(fb, pos, with_labels = False, node_size = 35)
plt.show()

現(xiàn)在，我們想要找到具有高影響力的用戶。直觀上來講，Pagerank 會給擁有很多朋友的用戶提供更高的分?jǐn)?shù)，而這些用戶的朋友反過來會擁有很多朋友。

pageranks = nx.pagerank(fb)
print(pageranks)
------------------------------------------------------
{0: 0.006289602618466542,
 1: 0.00023590202311540972,
 2: 0.00020310565091694562,
 3: 0.00022552359869430617,
 4: 0.00023849264701222462,
........}

使用如下代碼，我們可以獲取排序后 PageRank 值，或者最具有影響力的用戶：

import operator
sorted_pagerank = sorted(pagerank.items(), key=operator.itemgetter(1),reverse = True)
print(sorted_pagerank)
------------------------------------------------------
[(3437, 0.007614586844749603), (107, 0.006936420955866114), (1684, 0.0063671621383068295), (0, 0.006289602618466542), (1912, 0.0038769716008844974), (348, 0.0023480969727805783), (686, 0.0022193592598000193), (3980, 0.002170323579009993), (414, 0.0018002990470702262), (698, 0.0013171153138368807), (483, 0.0012974283300616082), (3830, 0.0011844348977671688), (376, 0.0009014073664792464), (2047, 0.000841029154597401), (56, 0.0008039024292749443), (25, 0.000800412660519768), (828, 0.0007886905420662135), (322, 0.0007867992190291396),......]

將含有最具影響力用戶的子圖進(jìn)行可視化：

first_degree_connected_nodes = list(fb.neighbors(3437))
second_degree_connected_nodes = []
for x in first_degree_connected_nodes:
 second_degree_connected_nodes+=list(fb.neighbors(x))
second_degree_connected_nodes.remove(3437)
second_degree_connected_nodes = list(set(second_degree_connected_nodes))
subgraph_3437 = nx.subgraph(fb,first_degree_connected_nodes+second_degree_connected_nodes)
pos = nx.spring_layout(subgraph_3437)
node_color = ['yellow' if v == 3437 else 'red' for v in subgraph_3437]
node_size = [1000 if v == 3437 else 35 for v in subgraph_3437]
plt.style.use('fivethirtyeight')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (20, 15)
plt.axis('off')
nx.draw_networkx(subgraph_3437, pos, with_labels = False, node_color=node_color,node_size=node_size )
plt.show()

黃色的節(jié)點代表最具影響力的用戶

應(yīng)用

Pagerank 可以估算任何網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的重要性。

• 已被用于根據(jù)引文尋找最具影響力的論文
• 已被谷歌用于網(wǎng)頁排名
• 它可以對推文進(jìn)行排名，其中，用戶和推文作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點。如果用戶 A 跟隨用戶 B，則在用戶之間創(chuàng)建連邊；如果用戶推文或者轉(zhuǎn)發(fā)推文，則在用戶和推文之間建立連邊。
• 用于推薦系統(tǒng)

5、中心性度量

一些中心性度量的指標(biāo)可以作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型的特征，我們主要介紹其中的兩個指標(biāo)

• 介數(shù)中心性：擁有最多朋友的用戶很重要，而起到橋梁作用、將一個領(lǐng)域和另一個領(lǐng)域進(jìn)行連接的用戶也很重要，因為這樣可以讓更多的用戶看到不同領(lǐng)域的內(nèi)容。介數(shù)中心性衡量了特定節(jié)點出現(xiàn)在兩個其他節(jié)點之間最短路徑集的次數(shù)。
• 度中心性：即節(jié)點的連接數(shù)。

代碼

使用下面的代碼可以計算子圖的介數(shù)中心性：

pos = nx.spring_layout(subgraph_3437)
betweennessCentrality = nx.betweenness_centrality(subgraph_3437,normalized=True, endpoints=True)
node_size = [v * 10000 for v in betweennessCentrality.values()]
plt.figure(figsize=(20,20))
nx.draw_networkx(subgraph_3437, pos=pos, with_labels=False,
 node_size=node_size )
plt.axis('off')

如上圖所示，節(jié)點的尺寸大小和介數(shù)中心性的大小成正比。具有較高介數(shù)中心性的節(jié)點被認(rèn)為是信息的傳遞者，移除任意高介數(shù)中心性的節(jié)點將會撕裂網(wǎng)絡(luò)，將完整的圖打碎成幾個互不連通的子圖。

應(yīng)用

中心性度量的指標(biāo)可以作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型的特征。

總結(jié)

在這篇文章中，我們介紹了了一些最有影響力的圖算法。隨著社交數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，圖網(wǎng)絡(luò)分析可以幫助我們改進(jìn)模型和創(chuàng)造價值，甚至更多地了解這個世界。