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背包問(wèn)題主要是指一個(gè)給定容量的背包、若干具有一定價(jià)值和重量的物品，如何選擇物品放入背包使物品的價(jià)值最大。其中又分01背包和無(wú)限背包，這里主要討論01背包，即每個(gè)物品最多放一個(gè)。而無(wú)限背包可以轉(zhuǎn)化為01背包。
先說(shuō)一下算法的主要思想，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)解決。每次遍歷到的第i個(gè)物品，根據(jù)w[i]和v[i]來(lái)確定是否需要將該物品放入背包中。即對(duì)于給定的n個(gè)物品，設(shè)v[i]、w[i]分別為第i個(gè)物品的價(jià)值和重量，C為背包的容量。再令v[i][j]表示在前i個(gè)物品中能夠裝入容量為j的背包中的最大價(jià)值。則我們有下面的結(jié)果：
（1），v[i][0]=v[0][j]=0;
（2），v[i][j]=v[i-1][j] 當(dāng)w[i]>j
（3），v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} 當(dāng)j>=w[i]
好的，我們的算法就是基于此三個(gè)結(jié)論式。
一、01背包：
1、二維數(shù)組法
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價(jià)值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品個(gè)數(shù)
int[][] f = new int[n+1][m+1]; //f[i][j]表示前i個(gè)物品能裝入容量為j的背包中的最大價(jià)值
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一列和第一行
for(int i=0;i<f.length;i++){
f[i][0] = 0;
}
for(int i=0;i<f[0].length;i++){
f[0][i] = 0;
}
//通過(guò)公式迭代計(jì)算
for(int i=1;i<f.length;i++){
for(int j=1;j<f[0].length;j++){
if(weight[i-1]>j)
f[i][j] = f[i-1][j];
else{
if(f[i-1][j]<f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]){
f[i][j] = f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1];
path[i][j] = 1;
}else{
f[i][j] = f[i-1][j];
}
//f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]);
}
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
for(int j=0;j<f[0].length;j++){
System.out.print(f[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
int i=f.length-1;
int j=f[0].length-1;
while(i>0&&j>0){
if(path[i][j] == 1){
System.out.print("第"+i+"個(gè)物品裝入 ");
j -= weight[i-1];
}
i--;
}
}
}
輸出：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 0 0 3 4 4 7 7 7 8 8 11 11 11 0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 12 12 0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 第4個(gè)物品裝入 第3個(gè)物品裝入 第1個(gè)物品裝入
以上方法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為O(N*V)，其中時(shí)間復(fù)雜度基本已經(jīng)不能再優(yōu)化了，但空間復(fù)雜度卻可以優(yōu)化到O(V)。
先考慮上面講的基本思路如何實(shí)現(xiàn)，肯定是有一個(gè)主循環(huán)i=1..N，每次算出來(lái)二維數(shù)組f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一個(gè)數(shù)組f[0..V]，能不能保證第i次循環(huán)結(jié)束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態(tài)f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個(gè)子問(wèn)題遞推而來(lái)，能否保證在推f[i][v]時(shí)（也即在第i次主循環(huán)中推f[v]時(shí)）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實(shí)上，這要求在每次主循環(huán)中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時(shí)f[v-c[i]]保存的是狀態(tài)f[i-1][v-c[i]]的值。
偽代碼如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相當(dāng)于我們的轉(zhuǎn)移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因?yàn)楝F(xiàn)在的f[v-c[i]]就相當(dāng)于原來(lái)的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的循環(huán)順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另一個(gè)重要的背包問(wèn)題P02最簡(jiǎn)捷的解決方案，故學(xué)習(xí)只用一維數(shù)組解01背包問(wèn)題是十分必要的。
我們看到的求最優(yōu)解的背包問(wèn)題題目中，事實(shí)上有兩種不太相同的問(wèn)法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時(shí)的最優(yōu)解，有的題目則并沒(méi)有要求必須把背包裝滿。一種區(qū)別這兩種問(wèn)法的實(shí)現(xiàn)方法是在初始化的時(shí)候有所不同。
如果是第一種問(wèn)法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時(shí)除了f[0]為0其它f[1..V]均設(shè)為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。
如果并沒(méi)有要求必須把背包裝滿，而是只希望價(jià)格盡量大，初始化時(shí)應(yīng)該將f[0..V]全部設(shè)為0。
為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數(shù)組事實(shí)上就是在沒(méi)有任何物品可以放入背包時(shí)的合法狀態(tài)。如果要求背包恰好裝滿，那么此時(shí)只有容量為0的背包可能被價(jià)值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒(méi)有合法的解，屬于未定義的狀態(tài)，它們的值就都應(yīng)該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個(gè)合法解“什么都不裝”，這個(gè)解的價(jià)值為0，所以初始時(shí)狀態(tài)的值也就全部為0了。
2、一維數(shù)組法（無(wú)須裝滿）
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價(jià)值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品個(gè)數(shù)
int[] f = new int[m+1];
for(int i=0;i<f.length;i++){ //不必裝滿則初始化為0
f[i] = 0;
}
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
System.out.print(f[i]+" ");
}
System.out.println();
System.out.println("最大價(jià)值為"+f[f.length-1]);
}
}
輸出
0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 最大價(jià)值為12
3、一維數(shù)組法（必須裝滿）
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價(jià)值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品個(gè)數(shù)
int[] f = new int[m+1];
for(int i=1;i<f.length;i++){ //必裝滿則f[0]=0,f[1...m]都初始化為無(wú)窮小
f[i] = Integer.MIN_VALUE;
}
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
System.out.print(f[i]+" ");
}
System.out.println();
System.out.println("最大價(jià)值為"+f[f.length-1]);
}
}
輸出
0 -2147483648 3 4 3 7 6 7 8 10 11 12 11 最大價(jià)值為11
二、完全背包
有N種物品和一個(gè)容量為V的背包，每種物品都有無(wú)限件可用。第i種物品的費(fèi)用是c[i]，價(jià)值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。
但我們有更優(yōu)的O(VN)的算法。
O(VN)的算法
這個(gè)算法使用一維數(shù)組，先看偽代碼：
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)偽代碼與P01的偽代碼只有v的循環(huán)次序不同而已。
public class test{
public static void main(String[] args){
int[] weight = {3,4,6,2,5};
int[] val = {6,8,7,5,9};
int maxw = 10;
int[] f = new int[maxw+1];
for(int i=0;i<f.length;i++){
f[i] = 0;
}
for(int i=0;i<val.length;i++){
for(int j=weight[i];j<f.length;j++){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
System.out.println(f[maxw]);
}
}
輸出
25
總結(jié)
以上就是本文關(guān)于Java背包問(wèn)題求解實(shí)例代碼的全部?jī)?nèi)容，希望對(duì)大家有所幫助。感興趣的朋友可以繼續(xù)參閱本站：Java 蒙特卡洛算法求圓周率近似值實(shí)例詳解、Java小程序求圓的周長(zhǎng)和面積實(shí)例、Java編程用棧來(lái)求解漢諾塔問(wèn)題的代碼實(shí)例（非遞歸）等，如有不足之處，歡迎留言指出，小編會(huì)及時(shí)回復(fù)大家并進(jìn)行修改，努力給廣大編程工作及愛(ài)好者提供更優(yōu)質(zhì)的文章和更好的閱讀體驗(yàn)。感謝朋友們對(duì)本站的支持！
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