淺談SciPy中的optimize.minimize實現(xiàn)受限優(yōu)化問題

問題描述：有一批樣本x，每個樣本都有幾個固定的標(biāo)簽，如（男，24歲，上海），需要從中抽取一批樣本，使樣本總的標(biāo)簽比例滿足分布P(x)，如（男:女=49%:51%、20歲:30歲=9%:11%、..........）

采用KL-散度作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

KL-散度又叫相對熵

KL-散度在機(jī)器學(xué)習(xí)中，P用來表示樣本的真實分布，比如[1,0,0]表示當(dāng)前樣本屬于第一類。Q用來表示模型所預(yù)測的分布，比如[0.7,0.2,0.1]

KL-散度直觀的理解就是如果用P來描述樣本，那么就非常完美。而用Q來描述樣本，雖然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要額外的一些“信息增量”才能達(dá)到和P一樣完美的描述。如果我們的Q通過反復(fù)訓(xùn)練，也能完美的描述樣本，那么就不再需要額外的“信息增量”，Q等價于P。

公式：

使用SciPy中的optimize.minimize來進(jìn)行優(yōu)化。

def minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None,
    hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None,
    callback=None, options=None):

幾個重要的參數(shù)：

fun:目標(biāo)函數(shù)（he objective function to be minimized）；

x0:參數(shù)初始值（Initial guess. Array of real elements of size (n,)）；

bounds:參數(shù)取值范圍限制（Bounds on variables for L-BFGS-B, TNC, SLSQP and trust-constr methods.）

constraints:約束函數(shù)（Constraints definition (only for COBYLA, SLSQP and trust-constr)

Constraints for COBYLA, SLSQP are defined as a list of dictionaries.
Each dictionary with fields:
 
 type : str
  Constraint type: 'eq' for equality, 'ineq' for inequality.
 fun : callable
  The function defining the constraint.
 jac : callable, optional
  The Jacobian of `fun` (only for SLSQP).
 args : sequence, optional
  Extra arguments to be passed to the function and Jacobian.
）

tol : 目標(biāo)函數(shù)誤差范圍，控制迭代結(jié)束（optional Tolerance for termination. For detailed control, use solver-specific options.） options : 其他一些可選參數(shù)（dict, optional A dictionary of solver options. All methods accept the following generic options:）

求解過程：

定義優(yōu)化函數(shù)：

def obj_function(x): 其中x為要優(yōu)化的變量，在本問題中有480類的樣本（如：男，24歲，上海），每類樣本10-1000個不等，x為每類抽取的比例。要從中抽取50000個樣本，滿足22個約束條件（男:女=50%:50%、20歲:30歲=9%:11%等等）。

例如：男性要占總樣本的50%，則

選擇優(yōu)化函數(shù)。SciPy中可以使用bounds參數(shù)的算法有：L-BFGS-B, TNC, SLSQP and trust-constr，可以使用constraints 參數(shù)的算法有： COBYLA, SLSQP and trust-constr

調(diào)參：optimize.minimize有統(tǒng)一的參數(shù)，但每個優(yōu)化算法都有自己特有的參數(shù)，可以看源碼中的參數(shù)列表。

運(yùn)行：res = optimize.minimize(sample_fun, np.array(x0), bounds=bound, method='L-BFGS-B', tol=1e-11, options={'disp': True, 'maxiter': 300, 'maxfun': 1500000})，最終的結(jié)果保存在res.x中

如果程序沒達(dá)到指定的迭代次數(shù)就停止，可能有兩種原因：

STOP: TOTAL NO. of f AND g EVALUATIONS EXCEEDS LIMIT 增大參數(shù)maxfun；

CONVERGENCE: REL_REDUCTION_OF_F_<=_FACTR*EPSMCH 調(diào)小參數(shù)tol

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