Go語言浮點(diǎn)數(shù)的存儲方式

本文將為大家詳細(xì)介紹Go語言浮點(diǎn)數(shù)的存儲方式，內(nèi)容詳細(xì)步驟清晰，細(xì)節(jié)處理妥當(dāng)，希望大家通過這篇文章有所收獲，我們先來看看浮點(diǎn)數(shù)如何在程序中被使用的：

下面的一段簡單程序 0.3 + 0.6 結(jié)果是什么？

1 var f1 float64 = 0.32 var f2 float64 = 0.63 fmt.Println(f1 + f2)

有人會天真的認(rèn)為是0.9，但實(shí)際輸出卻是0.8999999999999999（go 1.13.5）

問題在于大多數(shù)小數(shù)表示成二進(jìn)制之后是近似且無限的。
以0.1為例。它可能是你能想到的最簡單的十進(jìn)制之一，但是二進(jìn)制看起來卻非常復(fù)雜：0.0001100110011001100…
其是一串連續(xù)循環(huán)無限的數(shù)字（涉及到10進(jìn)制轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制，暫不介紹）。
結(jié)果的荒誕性告訴我們，必須深入理解浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的存儲方式及其性質(zhì)，才能正確處理數(shù)字的計(jì)算。
golang 與其他很多語言（C、C++、Python…）一樣，使用了IEEE-754標(biāo)準(zhǔn)存儲浮點(diǎn)數(shù)。

IEEE-754 如何存儲浮點(diǎn)數(shù)

IEEE-754規(guī)范使用特殊的以2為基數(shù)的科學(xué)表示法表示浮點(diǎn)數(shù)。

32位的單精度浮點(diǎn)數(shù) 與 64位的雙精度浮點(diǎn)數(shù)的差異

符號位：1 為 負(fù)數(shù)， 0 為正數(shù)。
指數(shù)位：存儲 指數(shù)加上偏移量，偏移量是為了表達(dá)負(fù)數(shù)而設(shè)計(jì)的。
小數(shù)位：存儲系數(shù)的小數(shù)位的準(zhǔn)確或者最接近的值。

以 數(shù)字 0.085 為例。

小位數(shù)的表達(dá)方式

以0.36 為例:
010 1110 0001 0100 0111 1011 = 0.36 (第一位數(shù)字代表1/2,第二位數(shù)字是1/4…，0.36 是所有位相加)
分解后的計(jì)算步驟為:

go語言顯示浮點(diǎn)數(shù) - 驗(yàn)證之前的理論

接下來用一個(gè)案例有助于我們理解并驗(yàn)證IEEE-754 浮點(diǎn)數(shù)的表示方式。

math.Float32bits 可以為我們打印出32位數(shù)據(jù)的二進(jìn)制表示。(注：math.Float64bits可以打印64位數(shù)據(jù)的二進(jìn)制)

下面的go代碼將輸出0.085的浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制表達(dá)，并且為了驗(yàn)證之前理論的正確性，根據(jù)二進(jìn)制表示反向推導(dǎo)出其所表示的原始十進(jìn)制0.085

輸出：表明我們對于浮點(diǎn)數(shù)的理解正確。

1 Starting Number: 0.0850002 Bit Pattern: 0 | 0111 1011 | 010 1110 0001 0100 0111 10113 Sign: 0 Exponent: 123 (-4) Mantissa: 0.360000 Value: 0.085000

經(jīng)典問題：如何判斷一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)其實(shí)存儲的是整數(shù)

下面是一個(gè)有趣的問題，如何判斷一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)其實(shí)存儲的是整數(shù)？

思考10秒鐘…

下面是一段判斷浮點(diǎn)數(shù)是否為整數(shù)的go代碼實(shí)現(xiàn)，我們接下來逐行分析函數(shù)。
它可以加深對于浮點(diǎn)數(shù)的理解

1、要保證是整數(shù)，一個(gè)重要的條件是必須要指數(shù)位大于127，如果指數(shù)位為127，代表指數(shù)為0. 指數(shù)位大于127，代表指數(shù)大于0， 反之小于0.

下面我們以數(shù)字234523為例子：

第一步,計(jì)算指數(shù)。由于 多減去了23，所以在第一個(gè)判斷中 判斷條件為 exponent < -23
exponent := int(bits >> 23) - bias - 23

第二步，
(bits & ((1 << 23) - 1)) 計(jì)算小數(shù)位。

| (1 << 23) 代表 將1加在前方。
1 + 小數(shù) = 系數(shù)。

 第三步，計(jì)算intTest 只有當(dāng)指數(shù)的倍數(shù)可以彌補(bǔ)最小的小數(shù)位的時(shí)候，才是一個(gè)整數(shù)。
如下，指數(shù)是17位，其不能夠彌補(bǔ)最后6位的小數(shù)。即不能彌補(bǔ)1/2^18 的小數(shù)。
由于2^18位之后為0.所以是整數(shù)。

golang decimal 包詳解

要理解decimal包，首先需要知道兩個(gè)重要的概念，Normal number、denormal (or subnormal) number 以及精度。

1.概念：Normal number and denormal (or subnormal) number

wiki的解釋是：

什么意思呢？在IEEE-754中指數(shù)位有一個(gè)偏移量，偏移量是為了表達(dá)負(fù)數(shù)而設(shè)計(jì)的。比如單精度中的0.085，實(shí)際的指數(shù)是 -3， 存儲到指數(shù)位是123。
所以表達(dá)的負(fù)數(shù)就是有上限的。這個(gè)上限就是2^-126。如果比這個(gè)負(fù)數(shù)還要小，例如2^-127,這個(gè)時(shí)候應(yīng)該表達(dá)為0.1 * 2 ^ -126. 這時(shí)系數(shù)變?yōu)榱瞬皇?為前導(dǎo)的數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫做denormal (or subnormal) number。
正常的系數(shù)是以1為前導(dǎo)的數(shù)就叫做Normal number。

2.概念：精度

精度是一個(gè)非常復(fù)雜的概念，在這里筆者討論的是2進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的10進(jìn)制精度。
精度為d表示的是在一個(gè)范圍內(nèi)，如果我們將d位10進(jìn)制（按照科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)）轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制。再將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為d位10進(jìn)制。數(shù)據(jù)不損失意味著在此范圍內(nèi)是有d精度的。
精度的原因在于，數(shù)據(jù)在進(jìn)制之間相互轉(zhuǎn)換時(shí)，是不能夠精準(zhǔn)匹配的，而是匹配到一個(gè)最近的數(shù)。如圖所示：

                                          精度轉(zhuǎn)換

在這里暫時(shí)不深入探討，而是給出結(jié)論：（注：精度是動態(tài)變化的，不同的范圍可能有不同的精度。這是由于 2的冪 與 10的冪之間的交錯(cuò)是不同的。）

float32的精度為6-8位，

float64的精度為15-17位

目前使用比較多的精準(zhǔn)操作浮點(diǎn)數(shù)的decimal包是shopspring/decimal。鏈接:https://github.com/shopspring/decimal

decimal包使用math/big包存儲大整數(shù)并進(jìn)行大整數(shù)的計(jì)算。

比如對于字符串 “123.45” 我們可以將其轉(zhuǎn)換為12345這個(gè)大整數(shù)，以及-2代表指數(shù)。參考decimal結(jié)構(gòu)體：

在本文不會探討math/big是如何進(jìn)行大整數(shù)運(yùn)算的，而是探討decimal包一個(gè)非常重要的函數(shù)：

NewFromFloat(value float64) Decimal

其主要調(diào)用了下面的函數(shù)：

此函數(shù)會將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為Decimal結(jié)構(gòu)。
讀者想象一下這個(gè)問題：如果存儲到浮點(diǎn)數(shù)中的值（例如0.1）本身就是一個(gè)近似值，為什么decimal包能夠解決計(jì)算的準(zhǔn)確性？
原因在于，deciimal包可以精準(zhǔn)的將一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制。這就是NewFromFloat為我們做的事情。
下面我將對此函數(shù)做逐行分析。

第5行：剝離出IEEE浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)位
exp := int(bits>>flt.mantbits) & (1<<flt.expbits - 1)

第6行：剝離出浮點(diǎn)數(shù)的系數(shù)的小數(shù)位
mant := bits & (uint64(1)<<flt.mantbits - 1)

第7行：如果是指數(shù)位為0，代表浮點(diǎn)數(shù)是denormal (or subnormal) number；
默認(rèn)情況下會在mant之前加上1，因?yàn)閙ant只是系數(shù)的小數(shù)，在前面加上1后，代表真正的小數(shù)位。
現(xiàn)在 mant = IEEE浮點(diǎn)數(shù)系數(shù) * 2^53

第13行：加上偏移量，exp現(xiàn)在代表真正的指數(shù)。
第14行：引入了一個(gè)中間結(jié)構(gòu)decimal

第15行：調(diào)用d.Assign(mant) , 將mant作為10進(jìn)制數(shù)，存起來。
10進(jìn)制數(shù)的每一位都作為一個(gè)字符存儲到 decimal的byte數(shù)組中

第16行：調(diào)用shift函數(shù)，這個(gè)函數(shù)非常難理解。

此函數(shù)的功能是為了獲取此浮點(diǎn)數(shù)代表的10進(jìn)制數(shù)據(jù)的整數(shù)位個(gè)數(shù)以及小數(shù)位個(gè)數(shù)，此函數(shù)的完整證明附后。（注1)
exp是真實(shí)的指數(shù)，其也是能夠覆蓋小數(shù)部分2進(jìn)制位的個(gè)數(shù)。（參考前面如何判斷浮點(diǎn)數(shù)是整數(shù)）
exp - int(flt.mantbits)代表不能被exp覆蓋的2進(jìn)制位的個(gè)數(shù)
如果exp - int(flt.mantbits) > 0 代表exp能夠完全覆蓋小數(shù)位 因此 浮點(diǎn)數(shù)是一個(gè)非常大的整數(shù)，這時(shí)會調(diào)用leftShift(a, uint(k))。否則將調(diào)用rightShift(a, uint(-k)), 常規(guī)rightShift會調(diào)用得更多。因此我們來看看rightShift函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。

第5行：此for循環(huán)將計(jì)算浮點(diǎn)數(shù)10進(jìn)制表示的小數(shù)部分的有效位為 r-1 。
n >> k 是一個(gè)重要的衡量指標(biāo)，代表了小數(shù)部分與整數(shù)部分的分割。此函數(shù)的完整證明附后。（注1)

第21行：此時(shí)整數(shù)部分所占的有效位數(shù)為a.dp -=（r-1）
第24行：這兩個(gè)循環(huán)做了2件事情：
1、計(jì)算10進(jìn)制表示的有效位數(shù)
2、將10進(jìn)制表示存入bytes數(shù)組中。例如對于浮點(diǎn)數(shù)64.125，現(xiàn)在byte數(shù)組存儲的前5位就是64125

繼續(xù)回到newFromFloat函數(shù)，第18行，調(diào)用了roundShortest函數(shù)，
此函數(shù)非常關(guān)鍵。其會將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為離其最近的十進(jìn)制數(shù)。
這是為什么decimal.NewFromFloat(0.1)能夠精準(zhǔn)表達(dá)0.1的原因。

參考上面的精度，此函數(shù)主要考察了2的冪與10的冪之間的交錯(cuò)關(guān)系。四舍五入到最接近的10進(jìn)制值。
此函數(shù)實(shí)質(zhì)實(shí)現(xiàn)的是Grisu3 算法,有想深入了解的可以去看看論文。筆者在這里提示幾點(diǎn)：
1、2^exp <= d < 10^dp。
2、10進(jìn)制數(shù)之間至少相聚10^(dp-nd)
3、2的冪之間的最小間距至少為2^(exp-mantbits)
4、什么時(shí)候d就是最接近2進(jìn)制的10進(jìn)制數(shù)？
如果10^(dp-nd) > 2^(exp-mantbits)，表明 當(dāng)十進(jìn)制下降一個(gè)最小位數(shù)時(shí)，匹配到的是更小的數(shù)字value - 2^(exp-mantbits)，所以d就是最接近浮點(diǎn)數(shù)的10進(jìn)制數(shù)。

繼續(xù)回到newFromFloat函數(shù)，第19行 如果精度小于19，是位于int64范圍內(nèi)的，可以使用快速路徑，否則使用math/big包進(jìn)行賦值操作，效率稍微要慢一些。
第36行，正常情況幾乎不會發(fā)生。如果setstring在異常的情況下會調(diào)用NewFromFloatWithExponent 指定精度進(jìn)行四舍五入截?cái)唷?/p>

注一：快速的獲取一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)代表的十進(jìn)制

以典型的數(shù)字64.125 為例 ， 它可以被浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制精準(zhǔn)表達(dá)為：
Bit Patterns: 0 | 10000000101 | 0000000010000000000000000000000000000000000000000000
Sign: 0 | Exponent: 1029 (6) | Mantissa: 0.001953

即 64.125 = 1.001953125 * 2^6
注意觀察浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)位在第九位有1, 代表2^-9 即 0.001953125.

我們在浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)位前 附上數(shù)字1，10000000010000000000000000000000000000000000000000000 代表其為1 / 2^0 .

此時(shí)我們可以認(rèn)為這個(gè)數(shù)代表的是1.001953125. 那么這樣長的二進(jìn)制數(shù)變?yōu)?0進(jìn)制又是多少呢:4512395720392704。

即 1.001953125 = 4512395720392704 * 2^(-52)

所以64.125 = 4512395720392704 * 2^(-52) * 2^6 = 4512395720392704 * 2^(-46)
在這里，有一種重要的等式。即 (2 ^ -46) 等價(jià)于向左移動了46位。并且移動后剩下的部分即為64,而舍棄的部分其實(shí)是小數(shù)部分0.125。
這個(gè)等式看似復(fù)雜其實(shí)很好證明，即第46位其實(shí)代表的是2^45。其除以2^46后是一個(gè)小數(shù)。依次類推…

因此對于數(shù)字 4512395720392704 ， 我們可以用4，45，451，4512 … 依次除以 2 ^ 46. 一直到找到數(shù)451239572039270 其除以2^46不為0。這個(gè)不為0的數(shù)一定為6。
接著我們保留后46位，其實(shí)是保留了小數(shù)位。

假設(shè) 4512395720392704 / 2^46 = (6 + num)
64.125 =(6 + num) * 10 + C = 60 + 10* num + C

當(dāng)我們將通過位運(yùn)算保留后46位，設(shè)為A, 則 A / 2^46 = num
所以 (A * 10 + C) / 2 ^46 =(num * 10 +C) = 4.125
此我們又可以把4提取出來。

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