Real-Rime Rendering (2) - 變換和矩陣（Transforms and Matrics）

提要

       在圖形的計(jì)算中，比如旋轉(zhuǎn)、縮放、平移、投影等操作，矩陣都扮演著極其重要的角色，它是操作圖元的基本工具。雖然很多的圖形API已經(jīng)封裝好了這些矩陣操作，但是理解這些矩陣操作的原理會非常非常有幫助，比如說我們可以通過一些矩陣的快捷計(jì)算來加速你的代碼。

      如果你有一些線性代數(shù)的基礎(chǔ)，看下面的內(nèi)容的時候也不會很輕松，因?yàn)橛悬c(diǎn)難且比較沒意思，如果沒有修過這門課，最好把線性代數(shù)這本書拿來看看，因?yàn)檫@些東西真是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，而且非常的重要。

齊次記法（Homogeneous Notation）

       空間一個點(diǎn)對應(yīng)的是一個空間的位置，一個向量對應(yīng)一個方向，兩者都可以用一個三維向量 V = （Vx, Vy, Vz）來表示.

       這兩者如果對于變換（比如旋轉(zhuǎn)，縮放），用一個 3*3 矩陣就可以搞定，但對于平移變換就不適用了，因?yàn)槲恢米儞Q對于向量是沒有意義的，而對于點(diǎn)才是有意義的。

       齊次記法就是用來解決這個問題的。

       所謂齊次記法就是用n+1維矢量表示n維矢量。

       在齊次記法下，空間點(diǎn)記為 P = （Px, Py, Pz, Pw）, 其中Pw = 1。

       空間向量記為 V = （Vx, Vy, Vz, Vw）,其中Vw = 0.

       當(dāng)出現(xiàn)Pw！=0 且Pw ！= 1時，就需要將坐標(biāo)齊次化了，做法是同除以Pw,記為（Px/Pw, Py/Pw, Pz/Pw, 1）.

       齊次記法下的變換矩陣如下所示：

給定一個移動變換矩陣

對于一個向量  V = （Vx, Vy, Vz, Vw）和 T 相乘之后各值不變。

對于一個點(diǎn)   P = （Px, Py, Pz, Pw）和 T 相乘之后結(jié)果變?yōu)?(Px+tx, Py+ty， Pz+tz， 1).

       齊次坐標(biāo)帶來的便利：提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個點(diǎn)集從一個坐標(biāo)系變化到另一個坐標(biāo)系的有效方法。

基礎(chǔ)變換

基礎(chǔ)的變換包括平移，旋轉(zhuǎn)，縮放，切變，反射，投影等，下面一個個來看。

平移變換

上面已經(jīng)提到了，平移矩陣用T來表示：

tx，ty和tz分別表示向x，y，z方向移動的距離,如圖

注意這個仿射矩陣（Offine Tranform Matrics）對于空間向量是沒有作用的。

其逆矩    ，表示向相反的方向移動。

 旋轉(zhuǎn)矩陣 Rotating

旋轉(zhuǎn)變幻是指繞著一個軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，繞x，y，z旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣可以記為：

逆陣   , 表示繞同一個軸按相反的方向旋轉(zhuǎn)相同的角度。

旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式都為1，因?yàn)樗钦痪仃嚒?/p>

關(guān)于圖形（或物體）繞自身的某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其真實(shí)的過程是先將物體移動到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)相重合的位置，再將圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，然后再進(jìn)行平移變換，平移到原先的位置。

整個矩陣計(jì)算過程為   

縮放變換 Scaling

縮放就是放大和縮小，其矩陣表示為

如果 Sx = Sy = Sz，則稱為等比變換（uniform）,否則就不是（nonuniform）。

        其逆陣   ，表示按相反的方式進(jìn)行縮放。

        Sx，Sy，Sz中有一個為負(fù)數(shù)，則改矩陣就是反射矩陣，如果剛好有兩個因子為 -1， 則圖形旋轉(zhuǎn)  。反射矩陣通常需要特殊對待，比如，對于一個三角形，經(jīng)過反射變換，頂點(diǎn)的順序就可能會改變，這就會影響到面的法線，光照和背面消隱等算法就會受影響?？梢酝ㄟ^計(jì)算左上角 3*3 矩陣的行列式的值來進(jìn)行判斷，若行列式的值為負(fù)，則是反射矩陣。

切變變換 Shearing

切變變換可以用于游戲中，制作出爆炸的時候畫面抖動的效果，一共有六種：

第一個下標(biāo)表示要改變的坐標(biāo)軸，第二個下標(biāo)表示沿著那個坐標(biāo)軸變換。相關(guān)的矩陣也可以由此得出：第一個下標(biāo)決定行，第二個決定列，則有：

效果如下：

其逆陣：

級聯(lián)變換 Concatenation of Transforms

        由于矩陣乘法是沒有交換率的，所以矩陣相乘的順序非常重要，比如 S（2, 0.5, 1）和 , 根據(jù)它們執(zhí)行的順序不同，得到的結(jié)果也會不一樣。

       將多個矩陣整合到一起的另一個好處是提高了效率，一般的順序時 TRS。

歐拉變換 Euler TransForm

       歐拉變換可以將物體旋轉(zhuǎn)到任意的方向，一個歐拉變換可以分為三個分量 h(ead), p(ich), r(oll)，記為E（h，p，r）。

       其實(shí)就是三個旋轉(zhuǎn)矩陣的級聯(lián)矩陣：，由于都為對稱陣，其逆陣   =  。

      使用歐拉變換的時候會出現(xiàn)一個很蛋疼的問題-gimbal lock，可以看看這個視頻- youtube video explaining gimbal lock

      還會出現(xiàn)的一個問題就是兩個歐拉角之間的插值問題。

      為了避免萬圣節(jié)鎖，一個方法是設(shè)定好旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)順序。

      另一中方法是使用四元組。

模型矩陣，視口矩陣和投影矩陣  The Model, View and Projection Matrices

        模型是由一系列的頂點(diǎn)構(gòu)成的，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是相對于模型的中心來定義的，如果某個頂點(diǎn)的坐標(biāo)值是（0，0，0）,就意味著這個頂點(diǎn)在模型的正中間。

現(xiàn)在假設(shè)世界坐標(biāo)在，模型的左邊，則模型左邊對應(yīng)于世界坐標(biāo)需要乘以一個平移矩陣，這個矩陣就是model matrix（模型矩陣）。

人們在操作這個模型的時候，需要對其進(jìn)行一些變換，就需要將其每個定點(diǎn)移動到原點(diǎn)。

通過下圖中黑色的箭頭，就是將模型移動到原點(diǎn)。

這個變換矩陣就是model matrix（模型矩陣）。

這個過程可以描述為：

         接下來是View Matrix（視口矩陣）。

        當(dāng)你站在一座山的前面，想從各個角度來觀察這座山的時候，你可以選擇跑到不同的位置去看，也可以選擇...移動整座山。這在現(xiàn)實(shí)生活中看似不行，但在圖形學(xué)中，這一切都是可行的。

        現(xiàn)在在整個世界中只有一個model，當(dāng)需要觀察這個物體的時候，需要一個攝像機(jī)來進(jìn)行觀察，假設(shè)攝像機(jī)初始化在原點(diǎn)，經(jīng)過一個平移矩陣移動，

glm::mat4 ViewMatrix = glm::translate(Tx, Ty ,Tz);

這里提一下glm中的一個神奇的lookat函數(shù)～超強(qiáng)的生成 View Matrics

glm::mat4 CameraMatrix = glm::LookAt(     cameraPosition, // the position of your camera, in world space     cameraTarget,   // where you want to look at, in world space     upVector        // probably glm::vec3(0,1,0), but (0,-1,0) would make you looking upside-down, which can be great too );

接下來是Projection matrices（投影矩陣）

        經(jīng)過前面的Model Matriix 和 View Matrix的變換，現(xiàn)在處在的就是攝像機(jī)空間，也就意味著（0，0）上的點(diǎn)就會出現(xiàn)在屏幕的最中央，但是并不是兩個坐標(biāo)就可以決定頂點(diǎn)是否顯示，我們不能忽略 Z 坐標(biāo)，也就是頂點(diǎn)距離攝像機(jī)的位置。

       在透視投影中，根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，當(dāng)Vx，Vy的值相同的時候，Vz的值越大，頂點(diǎn)就越在中間，可以參考下圖。

一個4*4的矩陣可以用來描述投影：

glm::mat4 projectionMatrix = glm::perspective(     FoV,         // The horizontal Field of View, in degrees : the amount of "zoom". Think "camera lens". Usually between 90° (extra wide) and 30° (quite zoomed in)     4.0f / 3.0f, // Aspect Ratio. Depends on the size of your window. Notice that 4/3 == 800/600 == 1280/960, sounds familiar ?     0.1f,        // Near clipping plane. Keep as big as possible, or you'll get precision issues.     100.0f       // Far clipping plane. Keep as little as possible. );

GLSL實(shí)戰(zhàn)MVP

        我們知道，OpenGL中自帶了一些接口函數(shù)，可以很方便的定義視口，投影矩陣等，但如果使用GLSL的話，所有頂點(diǎn)的位置都是由 *.vert  中的代碼來確定，下面我們就來實(shí)踐一下剛才學(xué)習(xí)的Model，View，Projection。

      首先是兩個簡單的Shader：

basic.vert

#version 400 layout(location = 0) in vec3 vertexPosition_modelspace;  // Values that stay constant for the whole mesh. uniform mat4 MVP;  void main(){  	// Output position of the vertex, in clip space : MVP * position 	gl_Position =   MVP * vec4(vertexPosition_modelspace,1); } 

basic.frag

#version 400  // Ouput data out vec3 color;  void main() { 	// Output color = red  	color = vec3(1,0,0); }

void CGL::compileShader() { 	static const GLfloat g_vertex_buffer_data[] = { 		-1.0f, -1.0f, 0.0f, 		 1.0f, -1.0f, 0.0f, 		 0.0f,  1.0f, 0.0f, 	}; 	static const GLushort g_element_buffer_data[] = { 0, 1, 2 };  	GLuint vertexbuffer; 	glGenBuffers(1, &vertexbuffer); 	glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, vertexbuffer); 	glBufferData(GL_ARRAY_BUFFER, sizeof(g_vertex_buffer_data), g_vertex_buffer_data, GL_STATIC_DRAW);      glEnableVertexAttribArray(0);     glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, vertexbuffer);     glVertexAttribPointer( 			0,                  // attribute. No particular reason for 0, but must match the layout in the shader. 			3,                  // size 			GL_FLOAT,           // type 			GL_FALSE,           // normalized? 			0,                  // stride 			(void*)0            // array buffer offset     );     if( ! prog.compileShaderFromFile("shader/basic.vert",GLSLShader::VERTEX) )     {         printf("Vertex shader failed to compile!\n%s",                prog.log().c_str());         exit(1);     }     if( ! prog.compileShaderFromFile("shader/basic.frag",GLSLShader::FRAGMENT))     {         printf("Fragment shader failed to compile!\n%s",                prog.log().c_str());         exit(1);     }      if( ! prog.link() )     {         printf("Shader program failed to link!\n%s",                prog.log().c_str());         exit(1);     }     if( ! prog.validate() )     {         printf("Program failed to validate!\n%s",                prog.log().c_str());         exit(1);     }     prog.use(); } 

void CGL::setUniform() {  	// Projection matrix : 45° Field of View, 4:3 ratio, display range : 0.1 unit <-> 100 units     glm::mat4 Projection = glm::perspective(45.0f, 4.0f / 3.0f, 0.1f, 100.0f);     // Camera matrix 	glm::mat4 View       = glm::lookAt( 								glm::vec3(3,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space 								glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin 								glm::vec3(0,1,0)  // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down) 						   ); 	// Model matrix : an identity matrix (model will be at the origin) 	glm::mat4 Model      = glm::mat4(1.0f); 	// Our ModelViewProjection : multiplication of our 3 matrices 	glm::mat4 MVP        = Projection * View * Model; // Remember, matrix multiplication is the other way around     prog.setUniform("MVP",MVP);     prog.setUniform("modelMatrics",Model); } 

參考

wiki.變換矩陣 - http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5#.E4.BB.BF.E5.B0.84.E5.8F.98.E6.8D.A2

The Matrix and Quaternions FAQ - http://www.cs.princeton.edu/~gewang/projects/darth/stuff/quat_faq.html

Matrices - http://www.opengl-tutorial.org/beginners-tutorials/tutorial-3-matrices/

Real-Time Rendering 3rd

Fundamentals of Computer Graphics 2rd